Równanie różniczkowe 2 rzędu z e

Kefir92 · Post autor: **Kefir92** » 28 gru 2012, o 13:09

Hej,
mam drobny problem z policzeniem owego równania różniczkowego. Nie proszę o całe rozwiązanie, jedynie o podpowiedzi, jak to zrobić. "Show steps" w wolframie jedynie powiększa ilość pytań, dlatego też zwracam się o pomoc na tym forum .

\(\displaystyle{ y^{''}-y^{'}=\frac{e^{x}}{1+e^{x}}}\)

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 28 gru 2012, o 13:15

Najpierw równanie charakterystyczne

szw1710 · Post autor: **szw1710** » 28 gru 2012, o 13:19

Ja wiem... Może łatwiej będzie wstawić \(\displaystyle{ z=y'}\) - nową funkcję niewiadomą i mamy równanie liniowe pierwszego rzędu. Mniej rachunków się spodziewam.

Z moich obliczeń wynika, że finalnie dojdziemy do całki

\(\displaystyle{ y=\int e^x\bigl(x-\ln(1+e^x)\bigr)\dd x}\).

Da się ją policzyć

Kefir92 · Post autor: **Kefir92** » 28 gru 2012, o 14:29

Dziękuję hah... do momentu, że trzeba podstawić \(\displaystyle{ z=y^{'} z^{'}=y^{''}}\) to bez problemu doszedłem. Potem pojawiają się kłopoty. Ostatecznie jakoś dobrnąłem do ostatniej całki. Lecz wygląda ona zgoła inaczej: \(\displaystyle{ \int{e^{x-\frac{x^{2}}{4}+C}dx}\)

szw1710 · Post autor: **szw1710** » 28 gru 2012, o 14:43

Sprawdź. Ja to robiłem rutynowo. Równanie liniowe pierwszego rzędu rozwiązałem metodą uzmienniania stałej.

Kefir92 · Post autor: **Kefir92** » 28 gru 2012, o 17:41

No okej. Wiadomo - ja też. Tylko jakim cudem wyszła Ci ta ostatnia całka bez stałej? W momencie, gdy całkuje się uzmieńnioną stałą i prawą stronę, powstaje jakaś stała. Następnie odwraca się podstawienie i powinna wyjść całka, a w środku całki jakaś funkcja i stała z całkowania uzmiennionej stałej. U mnie stała z uzmienniania wynosi \(\displaystyle{ C_{1}=-\frac{x^{2}}{4}+C_{2}}\)

szw1710 · Post autor: **szw1710** » 28 gru 2012, o 17:48

Tak - całkowałem sobie tylko CSRN, ale całka z CORJ jest prościutka.