\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{ \mbox{d}x }{x ^{4}+ x^{2}+1 }
\int_{}^{} \frac{ x^{3} \mbox{d}x }{ \left( x ^{2}+x+5 \right) ^{2} }}\)
calki wymierne
-
szamo14
- Użytkownik
- Posty: 34
- Rejestracja: 26 lut 2012, o 13:39
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 8 razy
- Pomógł: 2 razy
calki wymierne
zadanie 16.84 to jest to 1 ale czy napewno rozklad na ulamki proste jest dobry ?
bo ostatnia linijka B+D nie powinna równac sie 1 ?
a 2 zadanie nie znalazlem i dalej nie wiem jak zrobic
bo ostatnia linijka B+D nie powinna równac sie 1 ?
a 2 zadanie nie znalazlem i dalej nie wiem jak zrobic
-
Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6909
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1246 razy
calki wymierne
\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{ \mbox{d}x }{x ^{4}+ x^{2}+1 }
\int_{}^{} \frac{ x^{3} \mbox{d}x }{ \left( x ^{2}+x+5 \right) ^{2} }}\)
\(\displaystyle{ \int{ \frac{ \mbox{d}x }{x^4+x^2+1} }=\int{ \frac{ \mbox{d}x }{\left( x^2+1\right)^2-x^2 } }\\
\int{ \frac{ \mbox{d}x }{x^4+x^2+1} }=\int{ \frac{ \mbox{d}x }{\left( x^2-x+1\right)\left( x^2+x+1\right) } }\\
\int{ \frac{ \mbox{d}x }{x^4+x^2+1} }=\int{\frac{Ax+B}{x^2-x+1}}+\int{\frac{Cx+D}{x^2+x+1}}\\
\left( Ax+B\right)\left( x^2+x+1\right)+\left( Cx+D\right)\left( x^2-x+1\right)=1\\
\begin{cases} A+C=0 \\ A+B-C+D=0\\A+B+C-D=0\\B+D=1 \end{cases} \\
\begin{cases} C=-A \\ 2A+B+D=0\\B-D=0\\B+D=1 \end{cases} \\
\begin{cases} C=-A \\ 2A+B+D=0\\B=D\\B+D=1 \end{cases} \\
\begin{cases} C=-A \\ 2A+1=0\\B=D\\B+D=1 \end{cases} \\
\begin{cases} C=\frac{1}{2} \\ A=-\frac{1}{2}\\B=\frac{1}{2}\\D=\frac{1}{2} \end{cases} \\
-\frac{1}{2}\int{\frac{x-1}{x^2-x+1} \mbox{d}x }+\frac{1}{2}\int{ \frac{x+1}{x^2+x+1} \mbox{d}x }\\
=-\frac{1}{4}\int{\frac{2x-1}{x^2-x+1} \mbox{d}x }+\frac{1}{4}\int{\frac{ \mbox{d}x }{\left( x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4} }}+\frac{1}{4}\int{\frac{2x+1}{x^2+x+1} \mbox{d}x }+\frac{1}{4}\int{\frac{ \mbox{d}x }{\left( x+ \frac{1}{2} \right)^2+ \frac{3}{4} }}\\
=-\frac{1}{4}\int{\frac{2x-1}{x^2-x+1} \mbox{d}x }+\frac{1}{3}\int{ \frac{ \mbox{d}x }{1+\left( \frac{2x-1}{ \sqrt{3} } \right)^2 } }+\frac{1}{4}\int{\frac{2x+1}{x^2+x+1} \mbox{d}x }+\frac{1}{3}\int{\frac{ \mbox{d}x }{1+\left( \frac{2x+1}{\sqrt{3}} \right)^2 }}\\
=\frac{1}{4}\ln{\left| \frac{x^2+x+1}{x^2-x+1} \right| }+\frac{1}{2\sqrt{3}}\left( \arctan{\left( \frac{2x-1}{\sqrt{3}}\right) }+\arctan{\left( \frac{2x+1}{\sqrt{3}}\right) }\right)+C\\}\)
\(\displaystyle{ \int{\frac{x^3}{\left( x^2+x+5\right)^2 } \mbox{d}x }\\
=\int{\frac{x^3}{\left( \left( x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{19}{4} \right)^2 }}\\
x+\frac{1}{2}= \frac{ \sqrt{19} }{2}t\\
\mbox{d}x = \frac{ \sqrt{19} }{2}\mbox{d}t\\
x=\frac{1}{2}\left( \sqrt{19}t-1 \right)\\
\frac{ \sqrt{19} }{16}\int{\frac{\left( \sqrt{19}t-1 \right)^3 }{\left( \frac{19}{4}t^2+ \frac{19}{4} \right)^2 } \mbox{d}t}\\
\frac{ \sqrt{19} }{361}\int{\frac{\left( \sqrt{19}t-1 \right)^3 }{\left( t^2+1\right)^2 } \mbox{d}t}}\)
Teraz rozbijamy na sumę całek i przez części (w sumie można było od razu przez części ale...)
\int_{}^{} \frac{ x^{3} \mbox{d}x }{ \left( x ^{2}+x+5 \right) ^{2} }}\)
\(\displaystyle{ \int{ \frac{ \mbox{d}x }{x^4+x^2+1} }=\int{ \frac{ \mbox{d}x }{\left( x^2+1\right)^2-x^2 } }\\
\int{ \frac{ \mbox{d}x }{x^4+x^2+1} }=\int{ \frac{ \mbox{d}x }{\left( x^2-x+1\right)\left( x^2+x+1\right) } }\\
\int{ \frac{ \mbox{d}x }{x^4+x^2+1} }=\int{\frac{Ax+B}{x^2-x+1}}+\int{\frac{Cx+D}{x^2+x+1}}\\
\left( Ax+B\right)\left( x^2+x+1\right)+\left( Cx+D\right)\left( x^2-x+1\right)=1\\
\begin{cases} A+C=0 \\ A+B-C+D=0\\A+B+C-D=0\\B+D=1 \end{cases} \\
\begin{cases} C=-A \\ 2A+B+D=0\\B-D=0\\B+D=1 \end{cases} \\
\begin{cases} C=-A \\ 2A+B+D=0\\B=D\\B+D=1 \end{cases} \\
\begin{cases} C=-A \\ 2A+1=0\\B=D\\B+D=1 \end{cases} \\
\begin{cases} C=\frac{1}{2} \\ A=-\frac{1}{2}\\B=\frac{1}{2}\\D=\frac{1}{2} \end{cases} \\
-\frac{1}{2}\int{\frac{x-1}{x^2-x+1} \mbox{d}x }+\frac{1}{2}\int{ \frac{x+1}{x^2+x+1} \mbox{d}x }\\
=-\frac{1}{4}\int{\frac{2x-1}{x^2-x+1} \mbox{d}x }+\frac{1}{4}\int{\frac{ \mbox{d}x }{\left( x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4} }}+\frac{1}{4}\int{\frac{2x+1}{x^2+x+1} \mbox{d}x }+\frac{1}{4}\int{\frac{ \mbox{d}x }{\left( x+ \frac{1}{2} \right)^2+ \frac{3}{4} }}\\
=-\frac{1}{4}\int{\frac{2x-1}{x^2-x+1} \mbox{d}x }+\frac{1}{3}\int{ \frac{ \mbox{d}x }{1+\left( \frac{2x-1}{ \sqrt{3} } \right)^2 } }+\frac{1}{4}\int{\frac{2x+1}{x^2+x+1} \mbox{d}x }+\frac{1}{3}\int{\frac{ \mbox{d}x }{1+\left( \frac{2x+1}{\sqrt{3}} \right)^2 }}\\
=\frac{1}{4}\ln{\left| \frac{x^2+x+1}{x^2-x+1} \right| }+\frac{1}{2\sqrt{3}}\left( \arctan{\left( \frac{2x-1}{\sqrt{3}}\right) }+\arctan{\left( \frac{2x+1}{\sqrt{3}}\right) }\right)+C\\}\)
\(\displaystyle{ \int{\frac{x^3}{\left( x^2+x+5\right)^2 } \mbox{d}x }\\
=\int{\frac{x^3}{\left( \left( x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{19}{4} \right)^2 }}\\
x+\frac{1}{2}= \frac{ \sqrt{19} }{2}t\\
\mbox{d}x = \frac{ \sqrt{19} }{2}\mbox{d}t\\
x=\frac{1}{2}\left( \sqrt{19}t-1 \right)\\
\frac{ \sqrt{19} }{16}\int{\frac{\left( \sqrt{19}t-1 \right)^3 }{\left( \frac{19}{4}t^2+ \frac{19}{4} \right)^2 } \mbox{d}t}\\
\frac{ \sqrt{19} }{361}\int{\frac{\left( \sqrt{19}t-1 \right)^3 }{\left( t^2+1\right)^2 } \mbox{d}t}}\)
Teraz rozbijamy na sumę całek i przez części (w sumie można było od razu przez części ale...)