Laplace - rozkład na ułamki proste.

[Pneumokok]

Witam!

Mam problem z rozkładem na ułamki proste.
Przedstawię go może na prostym przykładzie (wiem że mozna zrobić go prościej korzystając z tego że \(\displaystyle{ \frac{1}{s}}\) to całka, ale chodzi o to bym zrozumiał zasadę, skąd współczynniki się biorą):

Mamy równanie różniczkowe, robimy Laplace itd i mamy:
\(\displaystyle{ Y(s)= \frac{1}{s(s+1)}\\
\frac{1}{s(s+1)} = \frac{A}{s} + \frac{B}{s+1}}\)

Wymnażamy przez wspólny mianownik i mamy:
\(\displaystyle{ A(s+1) + Bs =1\\
As + A + Bs = 1\\}\)

I teraz bierze się coś, czego kompletnie nie rozumiem:
\(\displaystyle{ A = 1\\
A + B = 0\\
B = -1}\)

Tutaj już kapuję, mamy wspólczynniki i robimy Laplace odwrotny:
\(\displaystyle{ Y(s) = \frac{1}{s} - \frac{1}{s+1} \\
y(t) = 1 - e^{-t}\\}\)

Tylko skąd, po rozłożeniu na ułamki proste, obliczono współczynniki?
Znalazłem na tym forum pomoc wrzuconą przez Lukę52 - https://www.matematyka.pl/298450.htm#4 - ale sprawy mi nie rozjaśniła, może przez to że przykłady są dość rozbudowane.

Będę wdzięczny za każdą pomoc w rozjaśnieniu mi obliczania tych współczynników - nadto proszę, by traktować mnie jak chłopa małorolnego co nic nie rozumie.

Z góry dziękuję i pozdrawiam,
Pneumokok.

[miodzio1988]

I teraz bierze się coś, czego kompletnie nie rozumiem:

porównanie współczynników przy potęgach

[Pneumokok]

porównanie współczynników przy potęgach

Ok, czyli trzeba sobie tak rozpisać (o ile coś nie pokićkałem to wyniki wtedy się zgodzą):

\(\displaystyle{ As + A + Bs = 1 \\
A\cdot s^{1} + A\cdot s^{0} + B\cdot s^{1} = 1\cdot s^{0} + 0\cdot s^{1}}\)

I wtedy jest ok?

[miodzio1988]

zgadza się