Pochodna z definicji

[conseil]

Korzystając z definicji zbadać, czy istnieją pochodne podanych funkcji we wskazanych punktach:
\(\displaystyle{ f(x) = \begin{cases} \sin {x} & \text{dla } x \le \frac{\pi}{2} \\ 1 & \text{dla } x > \frac{\pi}{2} \end{cases}
\\
x_{0} = \frac{\pi}{2}}\)
Jak to zrobić? Robię tak:
\(\displaystyle{ \lim_{x \to {x_{0}}^{+} } {\frac{f(x) - f(x_{0})}{x-x_{0}}} = \lim_{x \to {\frac{\pi}{2}}^{+}} {\frac{f(\frac{\pi}{2}) - 1}{x - \frac{\pi}{2}}}}\)
Co dalej? Czy już źle robię?

[pawellogrd]

Pochodna istnieje gdy lewostronna i prawostronna są sobie równe, więc jak \(\displaystyle{ x \to x_0^+}\) to \(\displaystyle{ f(x)=1}\), a gdy \(\displaystyle{ x \to x_0^-}\) to \(\displaystyle{ f(x)=\sin(\frac{\pi}{2})=1}\)

[pyzol]

Z lewej strony mamy:
\(\displaystyle{ f(x)=\sin x}\) i należy policzyć taką granicę:
\(\displaystyle{ \lim_{x\to \pi/2}\frac{\sin x -1}{x-\frac{\pi}{2}}}\).
Można też najpierw policzyć pochodne:
\(\displaystyle{ f'(x) \begin{cases} \cos x \text{ dla } x \le \frac{\pi}{2} \\ 0 \text{ dla } x>\frac{\pi}{2} \end{cases}}\)
Widać że pochodna jest ciągła.

[conseil]

No właśnie chodzi mi o rozpisanie \(\displaystyle{ \lim_{x\to \pi/2}\frac{\sin x -1}{x-\frac{\pi}{2}}}\)

[pyzol]

\(\displaystyle{ \sin x-1=\sin x -\sin\left(\frac{\pi}{2} \right)}\)
Teraz wzór na różnicę sinusów.

[janusz47]

Należy obliczyć pochodną lewostronną czyli granicę \(\displaystyle{ \lim_{x \to x^{-}_{0}} \frac{f(x) - f(x_{0})}{x - x_{0}},}\)

\(\displaystyle{ \lim_{x \to (\frac{\pi}{2})^{-}}\frac{\sin (x) - \sin (\frac{\pi}{2})}{x - \frac{\pi}{2}} = \lim_{x \to (\frac{\pi}{2})^{-}} 2\frac{\sin \frac{ (x - \frac{\pi}{2})}{2} \cdot \cos \frac{(x +\frac{\pi}{2})}{2}}{x - \frac{\pi}{2}} =\lim_{x \to (\frac{\pi}{2})^{-}} \frac{\sin \frac{ (x - \frac{\pi}{2})}{2}}{\frac{x - \frac{\pi}{2}}{2}} \cdot \lim_{x \to (\frac{\pi}{2})^{-}} \cos \frac{(x +\frac{\pi}{2})}{2}} = 1\cdot 0 = 0 .}\)
Istnieje pochodna funkcji w punkcie \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2},}\) ( funkcja nie jest różniczkowalna w tym punkcie), bo pochodne lewostronna i prawostronna mają wartości równe 0.
Edit.

[Dasio11]

Jak to różne?

[janusz47]

Należy obliczyć pochodną lewostronną czyli granicę \(\displaystyle{ \lim_{x \to x^{-}_{0}} \frac{f(x) - f(x_{0})}{x - x_{0}},}\)

\(\displaystyle{ \lim_{x \to (\frac{\pi}{2})^{-}}\frac{\sin (x) - \sin (\frac{\pi}{2})}{x - \frac{\pi}{2}} = \lim_{x \to (\frac{\pi}{2})^{-}} 2\frac{\sin \frac{ (x - \frac{\pi}{2})}{2} \cdot \cos \frac{(x +\frac{\pi}{2})}{2}}{x - \frac{\pi}{2}} =\lim_{x \to (\frac{\pi}{2})^{-}} \frac{\sin \frac{ (x - \frac{\pi}{2})}{2}}{\frac{x - \frac{\pi}{2}}{2}} \cdot \lim_{x \to (\frac{\pi}{2})^{-}} \cos \frac{(x +\frac{\pi}{2})}{2}} = 1\cdot 0 = 0 .}\)
Istnieje pochodna funkcji w punkcie \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2},}\) ( funkcja jest różniczkowalna w tym punkcie), bo pochodne lewostronna i prawostronna mają wartości równe 0.
Edit.