[Teoria liczb] Równanie diofantyczne

[Swiety Mikolaj]

Mam problem z równaniem diofantycznym, które rozwiązałem, ale nie jestem pewien, czy dobrze. Oto ono:
\(\displaystyle{ x ^{2}=y ^{3} + 16}\). Moje rozwiązania w liczbach całkowitych \(\displaystyle{ (x,y)}\) to: \(\displaystyle{ (\pm 4, 0)}\). Proszę o sprawdzenie, bo wolfram odmawia współpracy. Rozwiązywałem rozpatrując \(\displaystyle{ NWD((x-4),(x+4))}\) których iloczyn ma być sześcianem.

[Ponewor]

a pokażesz swoje rozwiązanie?

[KPR]

Ukryta treść:    

Mi wychodzi to samo. Jeśli \(\displaystyle{ x-4=0}\) lub \(\displaystyle{ x+4=0}\), to wiadomo. Oznaczmy to NWD przez \(\displaystyle{ d}\). Wtedy oczywiście \(\displaystyle{ d|8}\). Gdyby było \(\displaystyle{ d=2}\) lub \(\displaystyle{ d=4}\), to \(\displaystyle{ v_2(x-4)=v_2(x+4)}\), więc \(\displaystyle{ v_2(x^2-16)}\) wynosi odpowiednio \(\displaystyle{ 1}\) lub \(\displaystyle{ 4}\), więc \(\displaystyle{ x^2-16}\) nie może być sześcianem. Zatem \(\displaystyle{ d=1}\) lub \(\displaystyle{ d=8}\). W pierwszym przypadku \(\displaystyle{ x-4}\) i \(\displaystyle{ x+4}\) są sześcianami, bo są względnie pierwsze i iloczyn jest sześcianem, ale nie istnieją sześciany liczb całkowitych niezerowych odległe o 8. Zatem musi być \(\displaystyle{ d=8}\). Wtedy \(\displaystyle{ \frac{x-4}8}\) i \(\displaystyle{ \frac{x+4}8}\) muszą być sześcianami liczb całkowitych (bo są względnie pierwsze i iloczyn jest sześcianem), ale nie istnieją niezerowe sześciany liczb całkowitych o różnicy 1. Zatem jedyna możliwość to \(\displaystyle{ x-4=0}\) lub \(\displaystyle{ x+4=0}\).

[Ponewor]

Gdyby było \(\displaystyle{ d=2}\) lub \(\displaystyle{ d=4}\), to \(\displaystyle{ v_2(x-4)=v_2(x+4)}\), więc \(\displaystyle{ v_2(x^2-16)}\) wynosi odpowiednio \(\displaystyle{ 1}\) lub \(\displaystyle{ 4}\), więc \(\displaystyle{ x^2-16}\) nie może być sześcianem.

można prosić nieco jaśniej?

bo ja sobie z tym przypadkiem radzę nieco inaczej (jak poniżej), a chciałbym jednak zrozumieć twoją ideę

Ukryta treść:    

niech \(\displaystyle{ d=2}\). Lewa strona podzielna przez \(\displaystyle{ 4}\), więc i prawa podzielna przez \(\displaystyle{ 4}\). Prawa podzielna przez \(\displaystyle{ 4}\) czyli prawa podzielna przez \(\displaystyle{ 8}\), bo sześcian. Prawa podzielna przez \(\displaystyle{ 8}\), więc lewa podzielna przez \(\displaystyle{ 8}\), więc jeden z nawiasów podzielny przez \(\displaystyle{ 4}\). A nawiasy daję te same reszty w dzieleniu przez \(\displaystyle{ 4}\), co przeczy faktowi, że \(\displaystyle{ d=2}\). \(\displaystyle{ d=4}\) idzie całkiem analogicznie.

[kaszubki]

Jeszcze jaśniej?

Ukryta treść:    

Dla \(\displaystyle{ i=1,2}\):
Jak jest \(\displaystyle{ d=2^i}\), to \(\displaystyle{ x-4}\) i \(\displaystyle{ x+4}\) są niepodzielne przez \(\displaystyle{ 2^{i+1}}\), ale są podzielne przez \(\displaystyle{ 2^i}\). Zatem maksymalna potęga \(\displaystyle{ 2}\) jaka dzieli iloczyn to \(\displaystyle{ 2i}\), a \(\displaystyle{ 2i}\) jest niepodzielne przez \(\displaystyle{ 3}\).
Idea ta sama co u ciebie, tylko KPR się nie rozpisywał.

[Ponewor]

oooo tak to rozumiem. Ale sęk w tym, że nadal nie wiem co to \(\displaystyle{ v_{2}}\).

[kaszubki]

\(\displaystyle{ v_p(x)=max\{k: p^k|x\}}\)