[Teoria liczb] Denerwujące liczby pierwsze

[Swiety Mikolaj]

Mam problem z zadaniem, bo nie wiem, czy pałować, czy jest jakiś sposób.
Trzeba znaleźć siedem kolejnych liczb pierwszych tworzących ciąg arytmetyczny.
Póki co najwięcej znalazłem 6: \(\displaystyle{ 11, 71, 131, 191, 251, 311}\). Help!!

-- 22 gru 2012, o 00:04 --

zadanie jest olimpyskie, więc raczej nie na pałę, ale już sam nie wiem

-- 22 gru 2012, o 00:06 --

aha, jeszcze liczby te mają być mniejsze od \(\displaystyle{ 1000}\)

[Ponewor]

Ukryta treść:    

wyrażenie "kolejnych liczb pierwszych" jest tu bardzo nieszczęśliwe

Ukryta treść:    

Załóżmy, że ciągi nie mają być stałe.

Ukryta treść:    

To nie jest przypadkiem niebieski Pawłowski, rozdział zadania różne?

hint 1.:    

niech różnica ciągu to \(\displaystyle{ r}\).. Pokaż, że \(\displaystyle{ r \le 166}\)

hint 2.:    

pokaż, że \(\displaystyle{ 2|r}\)

hint 3.:    

pokaż, że \(\displaystyle{ 3|r}\)

hint 4.:    

pokaż, że \(\displaystyle{ 5|r}\)

hint 5.:    

pokaż, że \(\displaystyle{ 30|r}\)

hint 6.:    

Jakie zostały nam możliwe \(\displaystyle{ r}\)?

hint 7.:    

Jakie dają reszty z dzielenia przez \(\displaystyle{ 7}\)?

hint 8.:    

Pokaż, że niezależnie od wyżej wspomnianych reszt, pierwszy wyraz ciągu jest podzielny przez \(\displaystyle{ 7}\).

hint 9.:    

Jeśli liczba pierwsza jest podzielna przez \(\displaystyle{ 7}\), to?

hint 10.:    

Teraz już mamy pierwszy wyraz, oraz jedynie pięć możliwych \(\displaystyle{ r}\). Jakie owe \(\displaystyle{ r}\) dają reszty z dzielenia przez \(\displaystyle{ 11}\)?

hint 11.:    

Pokaż, że dla \(\displaystyle{ r=30, \ 60, \ 90}\), któryś z wyrazów ciągu będzie podzielny przez \(\displaystyle{ 11}\).

hint 12.:    

Zostało \(\displaystyle{ r=120, \ 150}\). Ręcznie:
\(\displaystyle{ 7, \ 127, \ 247, \ 367, \ 487, \ 607, \ 727}\), który się krzaczy, bo \(\displaystyle{ 13|247}\) oraz
\(\displaystyle{ 7, \ 157, \ 307, \ 457, \ 607, \ 757, \ 907}\).
Łatwo sprawdzić, że ten ostatni jest szukanym ciągiem.

[Swiety Mikolaj]

Właśnie w ten sposób myślałem, ale myślałem, że jest jakieś ciekawsze rozwiązanie. thx-- 22 gru 2012, o 17:29 --warto zauważyć, że jest to jedyny taki ciąg różnych liczb pierwszych mniejszych od 1000. a, no i rzeczywiście nie chodziło mi o kolejne liczby pierwsze. późno było.