Udowodnić nierówność

[Hebo]

Jak udowodnić dla n naturalnych, że:

\(\displaystyle{ n! \ge 2^{n-1}}\)

Żaden z moich pomysłów nie wypalił, więc piszę tutaj

[mnij]

A wiesz co to indukcja matematyczna?

[Pancernik]

A może tak:

dla \(\displaystyle{ n=1}\)
\(\displaystyle{ 1! \ge 2^{1-1}\\
1\ge 1}\)

dla \(\displaystyle{ n+1}\)
\(\displaystyle{ \left( n+1\right) ! \ge 2^n\\
\left( n+1\right)n!\ge2^{n-1} \cdot 2\\
n+1\ge 2}\)

Tylko nie wiem czy to jest na \(\displaystyle{ 100 \%}\) poprawne.

[mnij]

no mniej więcej tak, ale brakuje całej formalnej otoczki przy indukcyjnym dowodzie. Dlatego pytam autora czy wie co to jest. Bo jak wie, to sam pomysł już mu pozwoli rozwiązać. A jak nie wie, to niech najpierw poczyta co nieco na ten temat.

[Hebo]

tak, wiem co to jest ale nie wiem jak to udowodnić. napisałem również, że żaden z moich pomysłów nie wypalił mianowicie tych najprostszych typu przemnożenie obu stron przez 2 lub \(\displaystyle{ (n+1)}\)

[mnij]

no więc
krok 1. Sprawdzamy czy dane wyrażenie jest prawdziwe dla jakiegos n. Sprawdzamy dla n=2. Dla n=2 mamy \(\displaystyle{ 2 \ge 2}\) czyli się zgadza.


krok 2. Teraz ustalmy dowolne n naturalne, \(\displaystyle{ n \ge 2}\), Oraz załóżmy że dla tego n zachodzi \(\displaystyle{ n! \ge 2^{n-1}}\). (założenie indukcyjne)

Teraz indukcyjna \(\displaystyle{ (n+1)! \ge 2^{n}}\).

Dowód:


\(\displaystyle{ (n+1)!=n! \cdot (n+1) \ge 2^{n-1} \cdot n \ge 2^{n}}\)

krok 3. Na mocy indukcji matematycznej, nierówność \(\displaystyle{ n! \ge 2^{n}}\) jest prawdziwa dla każdego \(\displaystyle{ n \ge 2}\).




I to tyle, oczywiscie jest to prawdze dla n większych lub równych od 1. jedynke sobie sprawdzamy osobno,a napisałem z dwójką żebyś lepiej ogarnął przejścia w dowodziku,