Problem dot. rozkładu Poissona

[deomaniak]

Witam,
Jestem nowy na forum. To mój pierwszy wpis, pozdrawiam więc stałych bywalców!
Mam problem z następującym zadaniem:

Zmienna losowa \(\displaystyle{ X}\) określa ilość awarii urządzeń typu I, zm. losowa \(\displaystyle{ Y}\) określa ilość awarii urządzeń typu II na tym samym przedziale czasowym. \(\displaystyle{ X}\) ma rozkład Poissona z parametrem \(\displaystyle{ \lambda_1}\), \(\displaystyle{ Y}\) rozkład Poissona z parametrem \(\displaystyle{ \lambda_2}\). Zakładamy niezależność \(\displaystyle{ X ,Y}\).
Mam podać prawdopodobieństwo tego, że ilość awarii urządzenia typu I będzie 2 razy większa od awarii urządzenia typu II.

Jak się za to zabrać? \(\displaystyle{ P(X = 2Y)}\) <- coś takiego? Co z tym robić?

Pozdrawiam

[Zordon]

\(\displaystyle{ P(X = 2Y)= \sum_{k=0}^{ \infty }P(X=k \wedge 2Y=k)=\sum_{k=0}^{ \infty }P(X=k) P(2Y=k)}\)
Ostatnia równość z niezależności.

[deomaniak]

Czyli w dalszej kolejności powinienem policzyć:

\(\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{\infty}P(X = k)P(2Y = k) = \sum_{k = 0}^{\infty}P(X = k)P(Y = k/2) = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{{{\lambda}_{1}}^{k} {e}^{{-\lambda}_{1}}}{k!} \frac{{{\lambda}_{2}}^{\frac{k}{2}} {e}^{{-\lambda}_{2}}}{(\frac{k}{2})!}}\)

I tutaj zaczynają się schody.
Marzy mi się uproszczenie tego i zsumowanie nieskończonego szeregu. Tylko jak?

[pyzol]

Lepiej sumować tak:
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^\infty P(X=2k)P(Y=k)}\)

[deomaniak]

Ok czyli mam:

\(\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{{{\lambda}_{1}}^{2k} {e}^{{-\lambda}_{1}}}{(2k)!} \frac{{{\lambda}_{2}}^{k} {e}^{{-\lambda}_{2}}}{k!} = {e}^{{-\lambda}_{1} - {\lambda}_{2}} \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{{{\lambda}_{1}}^{2k}{{\lambda}_{2}}^{k}}{(2k)!k!}}\)

I co teraz?

[janusz47]

\(\displaystyle{ Pr\{ X >2Y \} = \sum_{y=1}^{\infty}Pr\{ X >2Y \ Y = y \} = \sum_{y=1}^{\infty}Pr\{X>2Y \}\cdot Pr\{Y = y \} = \sum_{y =1}^{\infty}\sum_{x = 2}^{\infty}\frac{\lambda_{1}^{x -2y}}{(x -2y)!}e^{-\lambda_{1}}\cdot \frac{\lambda_{2}^{y}}{y!}e^{-\lambda_{2}} = \sum_{y =1}^{\infty}\sum_{x = 2}^{\infty}\frac{\lambda_{1}^{x -2y}}{(x -2y)!}\cdot \frac{\lambda_{2}^{y}}{y!}e^{-(\lambda_{1} + \lambda_{2})}.}\)

[deomaniak]

Co \(\displaystyle{ P(X > 2Y)}\) ma z tym wspólnego?
Nie rozumiem logiki, która się za tym kryje i wydaje mi się, że trochę to nie na temat.

[janusz47]

Takie rozwiązanie dla zdarzenia " żywotność urządzenia pierwszego jest ponad dwa razy większa od żywotności urządzenia drugiego". Logika jest? Jest! Tylko nie ma logiki w moim niedopatrzeniu, że akurat dwa razy większa.

[deomaniak]

A czy policzenie tego na zasadzie:

\(\displaystyle{ P(Y=k | X + Y = 3k)}\)

byłoby dobrym pomysłem?

[pyzol]

Sprawdź. Bardzo możliwe, że wyjdzie lepiej.
\(\displaystyle{ X+Y}\) ma rozkład \(\displaystyle{ \mathcal{P}(\lambda_1+\lambda_2)}\)

[Zordon]

Nie wiem co znaczy, że wyjdzie lepiej . Moim zdaniem wyszło dobrze.

[pyzol]

No wyszło.