Udowodnij nierówność

[arcan]

Dostałem takie zadanie i nie mam pomysłu jak to wykazać.

\(\displaystyle{ \left( x+y+z \right) \left( \frac{1}{x}+ \frac{1}{y}+ \frac{1}{z} \right) \ge 9}\)

Próbowałem kilku przekształceń, ale finalne postacie nie stwierdziły jednoznacznie tej nierówności.

Edit x, y i z należą do zbioru liczb rzeczywistych.

[pyzol]

Gdzieś to już widziałem, ale siły nie mam szukać.
Wymnóż wszystko i udowodnij \(\displaystyle{ t+\frac{1}{t} \ge 2}\) (doszukaj się wzoru skróconego mnożenia).
Ps, tylko, że to pójdzie dla dodatnich.

[Mihalke]

\(\displaystyle{ \frac{x}{y} \frac{y}{x}}\) i te pozostałe poodwracane ułamki zawsze będą dawały co najmniej sumę 2, bo ile ten pierwszy da mniej niż jeden to ten drugi da o tyle więcej i wyjdzie równe 2 lub da więcej.
Nie jest to chyba bardzo dobrze wytłumaczone matematycznie, sam chętnie zobaczę profesjonalne wytłumaczenie.

[pyzol]

To jeszcze taka wskazówka, (oczywiście podałeś odwrotności). Skorzystać z takiej nierówności:
\(\displaystyle{ \left(\sqrt{t}-\frac{1}{\sqrt{t}} \right)^2 \ge 0}\)

[opilo]

Z nierówności między średnią arytmetyczną a harmoniczną wychodzi automatycznie.

[arcan]

Już widzę,

po wymnożeniu wychodzi:
\(\displaystyle{ 3+ \left( \frac{x}{y}+ \frac{y}{x} \right) + \left( \frac{z}{y}+ \frac{y}{z} \right) + \left( \frac{x}{y}+ \frac{z}{x} \right) \ge 9}\), na mocy tego \(\displaystyle{ t+\frac{1}{t} \ge 2 \Leftrightarrow t^2-2t+1 \ge 0 \Leftrightarrow \left(\sqrt{t}-\frac{1}{\sqrt{t}} \right)^2 \ge 0}\)

Czyli jak podstawie sobie pod te odwrotności zmienne pomocnicze np. \(\displaystyle{ \frac{x}{y}=t}\), to suma tych trzech składników będzie (2+2+2). Czyli się zgadza. To kończy dowód?

Nie chcę na razie się bawić średnimi.

[pyzol]

Kończy, ale ta druga linijka to mi się nie podoba, lepiej napisać coś takiego:
Dla \(\displaystyle{ t>0}\) zachodzi nierówność \(\displaystyle{ \left(t+\frac{1}{t} \right) \ge 2}\), ponieważ \(\displaystyle{ \left(t+\frac{1}{t} \right)=\left(\sqrt{t}-\frac{1}{\sqrt{t}} \right)^2+2}\).

[HuBson]

wystarczy że udowodnisz nierówność dla \(\displaystyle{ x,y > 0}\)
\(\displaystyle{ \frac{x}{y}+ \frac{y}{x} \ge 2}\)
a z tym chyba nie będzie problemu

[arcan]

Rozumiem,
faktycznie, od razu z funkcji kwadratowej przeszedłem do zapisu Twojego wzoru skróconego mnożenia. Tak jak napisałeś jest lepiej. Dziękuję bardzo za pomoc.