[Nierówności] Oszacuj z góry

[inny]

Liczby dodatnie a,b,c spełniają warunek
\(\displaystyle{ \frac{1}{1+x} + \frac{1}{1+y} + \frac{1}{1+z}=1}\)
Znaleźć najlepsze oszacowanie z gory na \(\displaystyle{ xyz}\).

[Marcinek665]

Ukryta treść:    

Niech:

\(\displaystyle{ a=\frac{1}{1+x}}\), \(\displaystyle{ b= \frac{1}{1+y}}\), \(\displaystyle{ c= \frac{1}{1+z}}\)

Stąd

\(\displaystyle{ x = \frac{1-a}{a} = \frac{b+c}{a}}\) itd.

A ograniczenie z dołu na \(\displaystyle{ \frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc}}\) to już łatwo.

Aj, z góry miało być

EDIT:

Ukryta treść:    

Weźmy \(\displaystyle{ b=c=1}\) oraz \(\displaystyle{ a \rightarrow \infty}\). Wtedy \(\displaystyle{ \frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc} = 2\left(1+a \right)\left(1+\frac{1}{a} \right) \rightarrow \infty}\), więc ograniczenia górnego nie ma.

[K-mil]

Ukryta treść:    

Niech:

\(\displaystyle{ a=\frac{1}{1+x}}\), \(\displaystyle{ b= \frac{1}{1+y}}\), \(\displaystyle{ c= \frac{1}{1+z}}\)

Stąd

\(\displaystyle{ x = \frac{1-a}{a} = \frac{b+c}{a}}\) itd.

A ograniczenie z dołu na \(\displaystyle{ \frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc}}\) to już łatwo.

Aj, z góry miało być

EDIT:

Ukryta treść:    

Weźmy \(\displaystyle{ b=c=1}\) oraz \(\displaystyle{ a \rightarrow \infty}\). Wtedy \(\displaystyle{ \frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc} = 2\left(1+a \right)\left(1+\frac{1}{a} \right) \rightarrow \infty}\), więc ograniczenia górnego nie ma.

Marcinek, ale jak weźmiemiy \(\displaystyle{ b=c=1}\), to przecież chyba wychodzi \(\displaystyle{ y=z=0}\). I czemu wtedy mamy brać takie \(\displaystyle{ a}\) jak założyłeś? Przecież dla takich wartości \(\displaystyle{ z,y}\) nie ma to rozwiązań w dodatnich

[Marcinek665]

Aj no tak, zapomniałem o założeniu, że \(\displaystyle{ a+b+c=1}\).

W takim razie niech \(\displaystyle{ a = \frac{1}{2} - \varepsilon, \ b = \frac{1}{2} - \varepsilon, \ c = 2 \varepsilon}\). Wówczas \(\displaystyle{ a+b+c=1}\) oraz wyrażenie \(\displaystyle{ \frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc}}\) jest równe \(\displaystyle{ \frac{1-2\varepsilon}{2\varepsilon} = 1 + \frac{1}{2\varepsilon.}}\) Ale \(\displaystyle{ \varepsilon}\) możemy wybrać dowolnie małe (ale dodatnie), zatem wartość wyrażenia \(\displaystyle{ 1 + \frac{1}{2\varepsilon}}\) może być dowolnie duża. Stąd wnioskujemy, że ograniczenia górnego brak.

[Qń]

Znaleźć najlepsze oszacowanie z gory na \(\displaystyle{ xyz}\).

Z góry to wyrażenie jest nieograniczone, wystarczy wziąć \(\displaystyle{ x=n,y=1, z= \frac{3+n}{n-1}}\). Natomiast szacowanie z dołu można wykazać też inaczej niż Marcinek:

Ukryta treść:    

Wyjściowy warunek jest równoważny \(\displaystyle{ x+y+z=xyz-2}\). Stąd i z nierówności AH mamy:
\(\displaystyle{ 1= \frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\ge \frac{9}{3+x+y+z} = \frac{9}{1+xyz}}\)
skąd oczywiście \(\displaystyle{ xyz\ge 8}\), przy czym równość jest osiągana dla \(\displaystyle{ x=y=z=2}\), więc szacowania nie można poprawić.

Q.