splot dwóch funkcji wykładniczych

[Geek]

Niech \(\displaystyle{ f(x)=e^{-x^{2}}}\)
Wyznaczyć splot \(\displaystyle{ f*f}\)

Zatem po wymnożeniu mamy:
\(\displaystyle{ e^{-t^{2}} \int_{- \infty }^{ \infty }e^{-2x^{2}+2tx}dx}\)
Jak dalej to szarpnąć?

[Piotr654]

Sprowadzić wykładnik do \(\displaystyle{ (x+t)^2}\) i skorzystać z wartości \(\displaystyle{ \int_{- \infty }^{ +\infty }e^{-x^2}dx= \sqrt{\pi}}\) ( to można np z twierdzenie Fubiniego policzyć, albo wywnioskować z tego, że miara probabilistyczna jest unormowana). Oczywiście mówię tylko jak policzyć całkę, nie zastanawiałem się, czy reszta jest dobrze.

[Geek]

Tego wykładnika chyba nie da się zwinąć do kwadratu,,,

[Piotr654]

\(\displaystyle{ e^{-2x^{2}+2tx - t^2} = e^ {- (2x^2 - 2tx +\frac{1}{2}t^2) - \frac{1}{2}t^2} =
e^{- \frac{1}{2}t^2}} \cdot e^ {- (\sqrt{2}x - \frac{1}{\sqrt{2}}t)^2}\)

[Geek]

Faktycznie Dzięki,
PS. Jak by to rozwiązać poprzez interpretacje probabilistyczną?

[Zordon]

W skrócie:
niech \(\displaystyle{ X,Y}\) niezależne o rozkładzie \(\displaystyle{ N(0,1)}\), wtedy \(\displaystyle{ X+Y}\) ma rozkład będący splotem \(\displaystyle{ N(0,1)*N(0,1)\sim N(0,2)}\). Teraz wystarczy patrzeć na gęstości: gęstość splotu = ?