Udowodnij równoważność

[Czoczo]

Nie bardzo wiem, jak można to udowodnić. Bardzo proszę o pomoc:\(\displaystyle{ A\subset P(A) \Leftrightarrow \bigcup A\subset A}\). Oczywiście \(\displaystyle{ A}\) to rodzina zbiorów.

[Jan Kraszewski]

\(\displaystyle{ \Leftarrow}\) Skorzystaj z tego, że \(\displaystyle{ P\left( \bigcup A\right)=A}\) (wcześniej udowodnij to sobie, jak tego nie wiesz).

\(\displaystyle{ \Rightarrow}\) Ustalasz \(\displaystyle{ x\in\bigcup A}\), korzystasz z definicji sumy uogólnionej, potem z założenia i już.

JK

[Czoczo]

\(\displaystyle{ \Leftarrow}\) Skorzystaj z tego, że \(\displaystyle{ P\left( \bigcup A\right)=A}\) (wcześniej udowodnij to sobie, jak tego nie wiesz).

Zastanawiam się właśnie nad tym dowodem. Pomyślałem sobie np. o rodzinie \(\displaystyle{ A=\left\{ \left\{ 1\right\}\left\{ 2\right\} \right\} ; \bigcup A= \left\{ 1,2\right\} ; P \left( \bigcup A \right) = \left\{\left\{ 1\right\},\left\{ 2\right\}\left\{ 1,2\right\}, \emptyset \right\}}\). A wtedy przecież nie ma równości. Coś robię źle, nie wiem za bardzo co... Byłbym bardzo wdzięczny za pomoc.

[Jan Kraszewski]

\(\displaystyle{ \Leftarrow}\) Skorzystaj z tego, że \(\displaystyle{ P\left( \bigcup A\right)=A}\) (wcześniej udowodnij to sobie, jak tego nie wiesz).

Zastanawiam się właśnie nad tym dowodem. Pomyślałem sobie np. o rodzinie \(\displaystyle{ A=\left\{ \left\{ 1\right\}\left\{ 2\right\} \right\} ; \bigcup A= \left\{ 1,2\right\} ; P \left( \bigcup A \right) = \left\{\left\{ 1\right\},\left\{ 2\right\}\left\{ 1,2\right\}, \emptyset \right\}}\). A wtedy przecież nie ma równości. Coś robię źle, nie wiem za bardzo co... Byłbym bardzo wdzięczny za pomoc.

Nie, to ja robię źle - tak to jest, jak się pisze na szybko... Miałem na myśli \(\displaystyle{ \bigcup P\left( A\right)=A}\), co akurat w tym przypadku nie pomoże. Natomiast pomoże \(\displaystyle{ A \subset P\left( \bigcup A\right)}\), co jest prawdą, ale co trzeba udowodnić.

JK