Jak rozpoznać które kryterium w zbieżności szeregów?

[mk321]

Mam takie zadania do zrobienia.
Zbadać zbieżność szeregu:
\(\displaystyle{ a)\ \sum_{n=1}^\infty \frac{3n-2}{n\sqrt{n}+2} \\
b)\ \sum_{n=1}^\infty \frac{(n^2+1)^2}{(n^2+2)^3} \\
c)\ \sum_{n=1}^\infty \frac{5^{n+1}\cdot3^n}{n7^n} \\
d)\ \sum_{n=1}^\infty \frac{(n+1)5^n}{2^{n+1}\cdot7^n} \\
e)\ \sum_{n=1}^\infty \frac{3^n}{(2n)!} \\
f)\ \sum_{n=1}^\infty \frac{5^n(2n)!}{n^{3n}}}\)

Znam dwie metody: kryterium D'Alamberta i kryterium Cauchy'ego. No i znam warunek konieczny, że granica musi równać się 0 (ale w tych chyba w żadnym to nie rozstrzyga).
Czy do powyższych zadań muszę znać kryterium porównawcze (z szeregiem harmonicznym/Dirichleta i szeregiem geometrycznym)?

Kiedy rozpoznać którą metodę zastosować? Wiem, że jak mam silnię (e, f) to stosuję D'Alamberta, a jak mam wszystko do n-tej potęgi to Cauchy'ego. Ale w a-d nie rozpoznaję niczego takiego.

Tyle ile udało mi się zrobić (proszę o sprawdzenie):

e)
Z kryterium D'Alamberta \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \left(\frac{\frac{3^{n+1}}{(2(n+1))!}}{\frac{3^n}{(2n)!}}\right) = 0 < 1}\) czyli szereg jest zbieżny.

f)
Z kryterium D'Alamberta \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \left(\frac{\frac{5^{n+1}(2(n+1))!}{(n+1)^{3(n+1)}}}{\frac{5^n(2n)!}{n^{3n}}}\right) = 0 < 1}\) czyli szereg jest zbieżny.

A w pozostałych nie wiem jak liczyć (np. w b liczę z D'Alamberta, to mi wychodzi 1, czyli nie rozstrzyga - czym to liczyć?).

//edit
W c i d rozpoznałem, że chyba powinno być liczone metodą Cauchy'ego, ale nie wychodzi mi dobry wynik.

c)
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \frac{5^{n+1}\cdot3^n}{n7^n} = \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{\frac{5^{n+1}\cdot3^n}{n7^n}} = \lim_{n\to\infty} \frac{\sqrt[n]{5^{n+1}\cdot3^n}}{\sqrt[n]{n7^n}} = \lim_{n\to\infty} \frac{\sqrt[n]{5^n} \sqrt[n]{5} \sqrt[n]{3^n}}{ \sqrt[n]{n} \sqrt[n]{7^n}} = \frac{5 \cdot 1 \cdot 3}{ 1 \cdot 7} = \frac{15}{7}}\)
Ale wynik wyszedł mi zły (Wolfram podaje 0).
Korzystałem ze wzoru: \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{a} = \lim_{n\to\infty} a^{\frac{1}{n}} = \lim_{n\to\infty} a^{[0]} = 1\\
\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{a^n} = \lim_{n\to\infty} a^{\frac{n}{n}} = \lim_{n\to\infty} a^{[1]} = a}\)
W d wychodzi mi tak samo źle (\(\displaystyle{ \frac{5}{14}}\), a powinno być 0).

Domyślam się, że a i b powinienem zrobić z kryterium D'Alamberta, tylko gdzieś popełniam błąd...

[Rogal]

W a) i b) korzystasz z kryterium porównawczego, najlepiej w wersji granicznej.
I nie wiem, co wklepałeś Wolframowi, ale nie ma szans, żeby wyszło 0. Pomijając fakt, że pierwsza równość w Twoim rozumowaniu to bzdura, to masz dobre wyniki.

[mk321]

Rogal:
Do Wolframa podałem ten: \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{\frac{5^{n+1}\cdot3^n}{n7^n}}}\)() - to wychodzi, że on nie dał rady policzyć tego. Bo jak po przekształceniach wkleję to już jest dobrze.

Tak, teraz widzę, w tym z Cauchy'ego z zapędzenia postawiłem równość.

Ale nadal nie mogę sobie poradzić z a i b.

a)
Korzystam z kryterium porównawczego. Porównam do szeregu harmonicznego (Dirichleta):
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^ \alpha } \begin{cases} { \text{zbieżny} \Leftrightarrow \alpha > 1 \\ \text{rozbieżny} \alpha \Leftrightarrow \alpha \le 1 \end{cases}}\)
Próbuję udowodnić rozbieżność:
\(\displaystyle{ \frac{3n-2}{n\sqrt{n}+2} \le \frac{3n}{n\sqrt{n}} = \frac{3n}{n\sqrt{n}} \cdot \frac{1}{n\sqrt{n}} = \frac{3n}{n\sqrt{n}} \cdot \frac{1}{n\cdot n^{\frac{1}{2}}} = \frac{3n}{n\sqrt{n}} \cdot \frac{1}{n^{1\frac{1}{2}}} \\
\frac{1}{n^{1\frac{1}{2}}} \Rightarrow \alpha > 1 \Rightarrow \text{zbieżny}}\)
Ale mi nie wychodzi.
Jak próbuję udowodnić zbieżność:
\(\displaystyle{ \frac{3n-2}{n\sqrt{n}+2} > \frac{3n-n}{n\sqrt{n}+n} = \frac{n(3-1))}{n(\sqrt{n}+1)} = \frac{2}{\sqrt{n}+1} = \frac{2}{n^{\frac{1}{2}}+1} =\ ?}\)
To nie potrafię sprowadzić do postaci, żeby porównać z szeregiem Dirichleta.

[Rogal]

Coś jakoś to dziwnie robisz. Jeśli nie chcesz lub nie możesz z ilorazowego (alias granicznego), to przynajmniej szacuj poprawnie:
\(\displaystyle{ \frac{3n-2}{n\sqrt{n}+2} \geq \frac{3n-2n}{n\sqrt{n}+n\sqrt{n}} = \frac{n}{2n\sqrt{n}} = \frac{1}{2\sqrt{n}}}\)
Oszacowanie jest prawdziwe dla n > 1, szereg po prawej jest rozbieżny, a więc i nasz też.

[mk321]

Rogal:
super, dzięki.
Tego kryterium jeszcze nie znam i wolałbym robić tym co było na ćwiczeniach.

To w b) będę udowadniał zbieżność. Tak powinienem prawidłowo oszacować? (licznik zwiększyć, mianownik zmniejszyć)
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty \frac{(n^2+1)^2}{(n^2+2)^3} \le \sum_{n=1}^\infty \frac{(n^2+n^2)^2}{(n^2)^3} = \frac{(2n^2)^2}{n^6} = \frac{4n^4}{n^6} = \frac{4}{n^2} = 4 \frac{1}{n^2} \Rightarrow \alpha > 1}\)
Na podstawie kryterium porównawczego szereg jest zbieżny.
Dobrze?

[Rogal]

Dobrze, tylko na jakiego diabła Ci te znaczki sumowania, skoro potem jeszcze je błędnie ot tak opuszczasz? Porównujesz wyrazy ogólne, a nie szeregi, których istnienie dopiero badasz.