Dla jakich a i b funkcja ma pochodne cząstkowe

pacia1620 · Post autor: **pacia1620** » 18 lis 2012, o 11:38

Niech funkcja \(\displaystyle{ \RR^2 \rightarrow \RR}\) będzie określona wzorem

\(\displaystyle{ f(x,y)= \begin{cases} \frac{ a (|x|+|y|) }{ \sqrt{x^2+y^2}} & \text{dla } (x,y) \neq (0,0) \\ b & \text{dla } (x,y)=(0,0) \end{cases}}\)

Dla jakich liczb \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) funkcja \(\displaystyle{ f}\) ma pochodne cząstkowe w \(\displaystyle{ (0,0).}\)

Myślałam żeby po prostu policzyć z definicji pochodne cząstkowe w punkcjie \(\displaystyle{ (0,0)}\) czy dobrze mysle?

Rogal · Post autor: **Rogal** » 18 lis 2012, o 13:16

Nie za bardzo masz inne wyjście.

pacia1620 · Post autor: **pacia1620** » 18 lis 2012, o 14:10

tylko jakie?

Rogal · Post autor: **Rogal** » 19 lis 2012, o 10:21

A widzisz tam u mnie gdzieś przecinek w tym zdaniu?
Nie masz innego wyjścia - tak prościej?

pacia1620 · Post autor: **pacia1620** » 15 gru 2012, o 17:56

\(\displaystyle{ \frac{df}{dx} (0,0)=\lim_{h\to\i0} \frac{f(h,b)-b}{h} =\lim_{h\to\0} \frac{a\left| h\right| -b}{\left| h\right| }}\)

i co dalej moge zrobic??-- 15 gru 2012, o 18:57 --pochodna po y wyszła mi taka sama

Rogal · Post autor: **Rogal** » 15 gru 2012, o 19:14

A znasz definicję pochodnej w punkcie?

pacia1620 · Post autor: **pacia1620** » 16 gru 2012, o 10:26

powinno byc tak:

\(\displaystyle{ \frac{df}{dx} (0,0)=\lim_{h\to\i0} \frac{f(h,0)-b}{h} =\lim_{h\to\0} \frac{\frac{a\left| h\right| -b}{\left| h\right| }}{h}}\)

-- 16 gru 2012, o 11:32 --

Rogal pisze:A znasz definicję pochodnej w punkcie?

o to chodzi?

\(\displaystyle{ \frac{df}{dx} (x _{0},y _{0} )=\lim_{h\to\i0} \frac{f(x _{0}+h ,y _{0})-f(x _{0},y _{0} ) }{h}}\)
\(\displaystyle{ \frac{df}{dy} (x _{0},y _{0} )=\lim_{h\to\i0} \frac{f(x _{0} ,y _{0}+h)-f(x _{0},y _{0} ) }{h}}\)

Rogal · Post autor: **Rogal** » 16 gru 2012, o 11:05

No wyglądałoby, że znasz (pomijając jakiś dziwny znaczek przy 0 w granicy), a jednak zastosować nie potrafisz.
Wstaw teraz do tej definicji punkt, w którym liczysz i funkcję, którą masz daną i powiedz, co sprawia Ci problem. Bo wybacz, ale na tym poziomie wstawianie do definicji nie ma prawa sprawiać problemów.

pacia1620 · Post autor: **pacia1620** » 16 gru 2012, o 12:35

nie wiem co robie nie tak ale cały czas wychodzi mi to samo.
\(\displaystyle{ \lim_{h\to\0} \frac{\frac{a\left| h\right| -b}{\left| h\right| }}{h}}\)

ps.
myślałam ze to forum jest po to żeby ktoś mógł komuś pomóc a nie mówić ze ktoś czegoś nie potrafi, mi akurat to zadanie sprawiło trudność i dlatego pisze gdybym wszystko potrafiła zrobic to w ogole bym tu nie pisała.

-- 16 gru 2012, o 13:42 --

teraz dobrze:

\(\displaystyle{ \lim_{h\to\0} \frac{a-b}{h}}\)

-- 16 gru 2012, o 13:44 --

Jeśli \(\displaystyle{ a-b=0}\) to \(\displaystyle{ \lim_{h\to\0} \frac{a-b}{h}=0}\)

jeśli \(\displaystyle{ a \neq b}\) to \(\displaystyle{ \lim_{h\to\0} \frac{a-b}{h} \neq 0}\)

Rogal · Post autor: **Rogal** » 16 gru 2012, o 13:14

Ja rozumiem, że to zadanie sprawiło Ci trudność - inaczej byś go nie umieszczała, ale na litość Boską, Ty nie masz problemu z liczeniem pochodnej z definicji, tylko ze wstawianiem do wzoru najpierw.
Popatrz na to i nie grzesz więcej:
\(\displaystyle{ \lim_{h \to 0} \frac{f(h, 0) - f(0,0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{a|h| - b}{\sqrt{h^{2}}} = \lim_{h \to 0} \frac{a|h| - b}{|h|}}\)
Teraz widzisz może, że granica ta będzie istnieć i będzie równa a wtedy i tylko wtedy, gdy b jest zerem.
Mając takie b, sprawdzasz, czy po ygreku też dostaniesz granicę skończoną.