Okrąg o środku O

[Kamil_dobry]

W okręgu o środku w punkcie \(\displaystyle{ O}\) poprowadzono dwie prostopadłe średnice \(\displaystyle{ AB}\) i \(\displaystyle{ CD}\). Z punktu \(\displaystyle{ A}\) poprowadzono cięciwę \(\displaystyle{ AM}\) przecinającą średnicę \(\displaystyle{ CD}\) w punkcie \(\displaystyle{ N}\). Wyznacz kąt, jaki tworzy ta cięciwa ze średnicą \(\displaystyle{ AB}\), jeżeli w czworokąt \(\displaystyle{ OBMN}\) można wpisać okrąg.

Nie mam pomysłu.

[19Radek88]

W zadaniu widać kilka różnych zależności np.:

- Kąt M jest prosty, bo oparty na średnicy;
- Kąt B = 2L (gdzie L jest kątem szukanym)

Własność druga znajduje uzasadnienie w fakcie, że trójkąt Bon i BNM są przystające oraz jeden z kątów ostrych tych trójkątów ma miarę równą kątowi szukanemu. W trójkącie AMB mamy zatem:

Kąt 90 stopni o kąty ostre równe L i 2L. Z własności trójkąta wiemy, że w tym przypadku L + 2L = (180 - 90) stopni, czyli 3L = 90 stopni, czyli L=30 stopni.

[Kamil_dobry]

Rzeczywiście bardzo łatwe zadanie. Wystarczy umieć patrzeć

[pandyzio]

A skąd wiadomo, że trójkąty \(\displaystyle{ BON}\) i \(\displaystyle{ BNM}\) są przystające?
Proszę o pomoc

[anna_]

Okrąg o środku O.png (8.28 KiB) Przejrzano 29161 razy

Oba trójkąty są prostokątne.
\(\displaystyle{ BN}\) jest ich przeciwprostokatną i jednocześnie dwusieczną kąta przy wierzchołku \(\displaystyle{ B}\)

Dwusieczną bo w czworokąt \(\displaystyle{ OBMN}\) można wpisać okrąg.

[alamanna]

a co ma fakt, że czworokąt da się wpisać w okrąg do tego, że przekątna jest dwusieczną? przepraszam za głupie pytanie, ale nie mogę nic wymyślić i nie rozumiem

[karolex123]

alamanna, w ogólności te fakty nie muszę być ze sobą powiązane. W przypadku tego zadania rzeczywiście tak jest, a argumenty mogą być takie: wpisujemy w czworokąt \(\displaystyle{ OBMN}\) okrąg (z założeń zadania możemy) i prowadzimy promienie tego okręgu do punktów styczności. Korzystamy następnie z twierdzenia o odcinkach stycznych, zauważamy dwa kwadraty.. wszystko już powinno być jasne
Inaczej: można po prostu wypałować warunek na wpisywalność w czworokąt okręgu (sumy długości przeciwległych boków są równe) i zapisać dwa razy twierdzenie Pitagorasa dla trójkątów \(\displaystyle{ OBN}\) i \(\displaystyle{ BMN}\). Proste przekształcenie doprowadzają nas da żądanej konkluzji.

[kruszewski]

Dla pytającej byłoby pożyteczne, gdyby Kolega pokazał jej to przekształcenie i wywiódł tę konkluzję.

[karolex123]

Niestety do końca nie wiemy, co dla pytającej jest oczywiste i pożyteczne. We wcześniejszych odpowiedziach nie znalazł się właściwie żaden konkretny argument za tym, by rozpatrywane trójkąty były przystające, więc chcąc rozwiać wątpliwości autorki pytania podałem dwa tropy, które mogą Ją doprowadzić do odpowiednich wniosków. Jeśli będzie to niewystarczające, to naturalnie chętnie je wyprowadzę, jednak wydaje mi się, że najbardziej pożytecznym jest samodzielne zwieńczenie wnioskowania (chociaż jego próby).

[anna_]

A skąd wiadomo, że trójkąty BON i BNM są przystające?
Proszę o pomoc

Są prostokątne, ale to za mało, żeby stwierdzić, że są podobne.

W czworokąt \(\displaystyle{ OBMN}\) można wpisać okrąg.

Środek okręgu wpisanego w czworokąt to punkt przecięcia dwusiecznych kątów, czyli
\(\displaystyle{ |\angle OBN|=|\angle NBM|}\)

Zatem trójkąty są podobne.

[kruszewski]

One są nie tylko podobne, one są przystające.

[karolex123]

anna_, skąd wiemy, że przekątna \(\displaystyle{ BN}\) jest dwusieczną, równoważnie że środek okręgu wpisanego w ten czworokąt leży na ów przekątnej?

[anna_]

anna_, skąd wiemy, że przekątna \(\displaystyle{ BN}\) jest dwusieczną, równoważnie że środek okręgu wpisanego w ten czworokąt leży na ów przekątnej?

Faktycznie, masz rację, to środek okręgu opisanego będzie leżał na tej przekątnej.
Brak uzasadnienia, że środek okręgu wpisanego też będzie tam leżał.

Nie będę się produkowała, bo na zadaniainfo są aż 4 sposoby rozwiązania tego zadania.

[karolex123]

anna_, chciałem jedynie podkreślić, że istotnie to wymaga uzasadnienia
Podałem wyżej dwie możliwe drogi do uzyskania tego rezultatu

[kruszewski]

Kolego Karolex123 jak rozszyfrowuje się ten napis:"można po prostu wypałować warunek na wpisywalność w czworokąt okręgu"?
Pytająca najpewniej przestała być zainteresowaną dyskusją i teraz pozostaje nas troje, Pani anna, Kolega Karolex i ja.

Fakt, że prosta BN jest dwusieczną kąta \(\displaystyle{ B}\) wynika stąd, że:
1. trójkąty \(\displaystyle{ NOB \ i \ NMB}\) są przystające a to z powodu, że dla spełnienia warunku twierdzenia o wpisywalności okręgu w czworobok jest równość sum przeciwległych jego boków, dla zadanej miary jednego z nich, \(\displaystyle{ |OB|}\) i kątów \(\displaystyle{ \angle O \ i \ \angle M}\) prostych, bok \(\displaystyle{ BM}\) ma miarę boku \(\displaystyle{ OB}\) a odcinek \(\displaystyle{ BN}\) jest przeciwprostokątną obu trójkątów \(\displaystyle{ \Delta NOB \ i \ \Delta NMB}\). Stąd możemy zauważyć przystawalność obu tych trójkątów, zatem i równość odpowiednich kątów, i to, że ich wspólny bok \(\displaystyle{ BN}\) jest symetralną kąta \(\displaystyle{ \angle B}\) i symetralną czworoboku \(\displaystyle{ OBMN}\)

2. Z zapewnionego warunku wpisywalności okrągu w, co już jest nam wiadome, "symetryczny" czworobok o dwu kątach prostych \(\displaystyle{ A \ i \ B}\) wynika to, że suma kątów \(\displaystyle{ \angle B \ + \ \angle N = \angle O \ + \ \angle M.}\) co spełnia warunek opisywalności okręgiem tego czworokąta.

3. Z warunku symetryczności czwrokąta względem jego osi symetrii wynika konieczność tego, by środek tego opisującego okręgu był przynależny do odcinka symetralnej, co dla tego czworokąta o dwu kątach prostych umacnia nas w tym przekonaniu, bo jeden z tych boków jest przeciwprostokątną trójkąta stanowiącego połowę czworoboku.

Rozwlekłe uzasadnienie, ale chyba usuwa wątpliwości i objaśnia pytania.

Niżej szkic ilustrujący odpowiedź o mierze kąta i odpowiedzi na pytania.


Równość kątów oznaczonych czerwonymi literami jest konsekwencją symetrii \(\displaystyle{ \Delta ABN}\) względem prostej \(\displaystyle{ CD}\)
Można zauwżyć i to, że trójkąt \(\displaystyle{ \Delta ABM}\) jest sumą trzech przystających trójkątów \(\displaystyle{ \Delta AON, \Delta NOB \ i \ \Delta BMN}\)

W.Kr.