\(\displaystyle{ \int_{0}^{1} \frac{1-\cos x}{x^a}dx}\)
\(\displaystyle{ \int_{1}^{ \infty } \frac{\arctan \frac{1}{ \sqrt{x} } }{x^a}dx}\)
\(\displaystyle{ \int_{0}^{1} \frac{ e^{ \sqrt{x} } -1}{x^a}dx}\)
Otóż to mam problem. Wiem jaki jest schemat, tylko problem pojawia się przy obliczeniu całek nieoznaczonych z tych funkcji. Czy może tego typu całki bada się inaczej? Prosiłbym o wskazówki.
zbadać zbieżność w zależności od parametru
-
mnij
- Użytkownik
- Posty: 185
- Rejestracja: 18 lis 2008, o 16:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: KrK
- Podziękował: 10 razy
- Pomógł: 3 razy
zbadać zbieżność w zależności od parametru
Ostatnio zmieniony 14 gru 2012, o 19:32 przez lukasz1804, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
-
octahedron
- Użytkownik
- Posty: 3568
- Rejestracja: 7 mar 2011, o 22:16
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Pomógł: 910 razy
zbadać zbieżność w zależności od parametru
\(\displaystyle{ 1)\quad\frac{1-\cos x}{x^a}=\left(\frac{\sin\frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}\right)^2\cdot\frac{1}{2x^{a-2}}\\\\
\lim_{x\to 0}\frac{\,\frac{1-\cos x}{x^a}\,}{\frac{1}{x^{a-2}}}=\frac{1}{2}\lim_{x\to 0}\left(\frac{\sin\frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}\right)^2=\frac{1}{2}}\)
więc zbieżność \(\displaystyle{ \int_0^1\frac{1-\cos x}{x^a}\,dx}\) jest taka sama jak \(\displaystyle{ \int_0^1\frac{1}{x^{a-2}}\,dx}\), czyli jest zbieżna dla \(\displaystyle{ a<3}\)
Analogicznie można w pozostałych, wykorzystując granice:
\(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty}\frac{\arctg\frac{1}{\sqrt{x}}}{x^{-\frac{1}{2}}}=1\\\\
\lim_{x\to 0}\frac{e^{\sqrt{x}}-1}{x^{\frac{1}{2}}}=1}\)
\lim_{x\to 0}\frac{\,\frac{1-\cos x}{x^a}\,}{\frac{1}{x^{a-2}}}=\frac{1}{2}\lim_{x\to 0}\left(\frac{\sin\frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}\right)^2=\frac{1}{2}}\)
więc zbieżność \(\displaystyle{ \int_0^1\frac{1-\cos x}{x^a}\,dx}\) jest taka sama jak \(\displaystyle{ \int_0^1\frac{1}{x^{a-2}}\,dx}\), czyli jest zbieżna dla \(\displaystyle{ a<3}\)
Analogicznie można w pozostałych, wykorzystując granice:
\(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty}\frac{\arctg\frac{1}{\sqrt{x}}}{x^{-\frac{1}{2}}}=1\\\\
\lim_{x\to 0}\frac{e^{\sqrt{x}}-1}{x^{\frac{1}{2}}}=1}\)
Ostatnio zmieniony 15 gru 2012, o 00:32 przez octahedron, łącznie zmieniany 2 razy.
-
mnij
- Użytkownik
- Posty: 185
- Rejestracja: 18 lis 2008, o 16:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: KrK
- Podziękował: 10 razy
- Pomógł: 3 razy
zbadać zbieżność w zależności od parametru
rano sobie przelicze, ale dzięki wielkie, brakowało mi własnie jakiegoś sprytnego myku!
-- 15 grudnia 2012, 14:55 --
a jeszcze mam pytanie. Bo w książce znalazłem to kryterium "limesowe" na zbieżność całek, z tym że podane ono było dla całek niewłaściwych ze względu na przedział całkowania. Czy to samo kryterium działa dla tych całek niewłaściwych II ego rodzaju? Z tego co napisałeś to tak wynika bo je stostujesz dla pierwszego przykładu. Ale nie mogę znaleźć wypowiedzi tego tw. Z tego co widzę to porstu zmieniamy w granicy tylko to, że x idzie do 0 a nie do nieskończonośći?
-- 15 grudnia 2012, 14:55 --
a jeszcze mam pytanie. Bo w książce znalazłem to kryterium "limesowe" na zbieżność całek, z tym że podane ono było dla całek niewłaściwych ze względu na przedział całkowania. Czy to samo kryterium działa dla tych całek niewłaściwych II ego rodzaju? Z tego co napisałeś to tak wynika bo je stostujesz dla pierwszego przykładu. Ale nie mogę znaleźć wypowiedzi tego tw. Z tego co widzę to porstu zmieniamy w granicy tylko to, że x idzie do 0 a nie do nieskończonośći?