Funkcja kwadratowa + parametr m.

[Szarl]

Dla jakich wartości parametru m funkcja
\(\displaystyle{ f(x)=(m-2)x^2-3x+mx+1}\)

przyjmuje wartości dodatnie dla każdego \(\displaystyle{ x}\) rzeczywistego?

przyznam że nie rozumiem zadań tego rodzaju..
jeśli mam zadania typu
"dla jakich wartosci parametru m rownanie np...
-ma dwa miejsce zerowe
-dwa rozne pierwiastki rzeczywiste
-dwa peirwiastki rzeczywiste rozne znakow
-ktorych kwadrat roznicy pierwiastkow jest rowny 9
no coś tego typu wychodzą bez problemów
wiem że jeśli ma byc 1 rozwiązanie to może być rownanie liniowe lub delta=0
itp..

jednak tego typu zadanie jakie jest wyżej sprawia mi problem
mogę je przekształicic do postaci

\(\displaystyle{ f(x)=(m-2)x^2+(m-3)x+1}\)

i za bardzo nie wiem co mam wyliczać i jakie zrobić założenie..
moglby ktos mi to dokladnie wytlumaczyc zebym juz nie mial problemow z zadaniami tego typu?
licze na Wasza pomoc.

[fon_nojman]

Wskazówka: Parabola musi mieć ramiona do góry i wierzchołek nad osią \(\displaystyle{ x}\), a funkcja liniowa musi być stała. Najlepiej sobie narysować.

[Szarl]

a słowami da się to dokładnie wytlumaczyc zebym sobie wyobrazil to zadanie ?
wiem ze funkcja musi miec wartosci dodatnie czyli ramiona w gore.. pozatym wyraznie ktore sa pod osia nie biore pod uwagę..

[silicium2002]

Eh no to jedziemy.
Twoje pierwsze prrzekształcenie jest dobre ( ) więc nie jest tak źle.
Teraz tylko założenia. Popatrz na nawiasy w których występuje m. Mamy: \(\displaystyle{ (m-2) \ i \ (m-3)}\).

Przy tego typu zadaniach najlepiej jest rozbić sobie zadanie na kilka przypadków, co czynimy właśnie przez założenia (czyli wybieranie szczególnych wartości m przy kórych się coś zmienia). Tutaj dobierzemy je w ten sposób aby wartości nawiasów były równe \(\displaystyle{ 0}\) a wiec \(\displaystyle{ m=2, m=3}\) bo w pierwszym p[rzypadku zeruje sie pierwszy nawias a w drugim drugi nawias.

Teraz powinniśmy rozpatrzyć takie możliwości:
1) m < 2
2) m = 2
3) 2 < m < 3
4) m = 3
5) m > 3

Oczywiście nie trzeba robić tego tak skrupalatnie jednak jeśli tego dobrze nie kapujesz to najlepiej powoli ale dobrze.

W przypadku 1) i 2) dla ujemnych x wartości \(\displaystyle{ ax^{2} i bx le 0}\) a wiec i ogolna wartosc funkcji bedzie mniejsza równa 0
W przypadku 3) wyraz \(\displaystyle{ ax^{2} > 0, \ ale \ bx < 0}\), ale można sprawdzić że \(\displaystyle{ f(x)}\) jest zawsze > 0. Czyli mamy już część rozwiązania.
Teraz przypadki 4) i 5) W tych przypadkach \(\displaystyle{ ax^{2} > 0, \ ale \ bx \ge 0}\) więc i \(\displaystyle{ f(x)}\) > 0

Czyli ogólna odpowiedź dzieje się tak dla \(\displaystyle{ m > 2}\)

Pozdrawiam

P.S. Najlepiej bedzie jak zadania z którymi nie możesz sobie poradzić bedziesz wrzucał na forum, bo cięzko napisac ogolny przepis jak rozwiazywac zadania z funkcja kwadratowa

[fon_nojman]

To jeszcze sposób z wierzchołkiem.

Jeżeli \(\displaystyle{ m>2}\) to mamy parabole z ramionami do góry. Jej minimum (najmniejsza wartość) znajduje się w wierzchołku czyli jak wierzchołek będzie ponad osią \(\displaystyle{ x}\) to już wszystkie jej wartości też (bo będą większe od najmniejszej wartości). Jedyne co teraz trzeba zrobić to zbadać kiedy (dla jakich \(\displaystyle{ m>2}\)) druga współrzędna wierzchołka będzie większa od zera.

Dla \(\displaystyle{ m=2}\) mamy niestałą funkcję liniową czyli zawsze gdzieś będzie niedodatnia.

Ostatni przypadek \(\displaystyle{ m<2}\) - parabola ramionami do dołu, też nie dobrze.

PS: Sposobów jest dużo. Można też z warunku na ujemność delty.

[Szarl]

w odp mam \(\displaystyle{ m \in (5-2 \sqrt{2},5+2 \sqrt{2} )}\)
mi tak wyszlo jak wyliczylem tylko delte.. no ale wiem ze musza byc te zalozenia

[Mersenne]

1. Wartości dodatnie dla każdego \(\displaystyle{ x\in \mathbb R:}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} m-2>0 \\ \Delta<0 \end{cases}}\)

Należy także sprawdzić co dzieje się dla \(\displaystyle{ m=2}\)- przypadek f-cji liniowej:

\(\displaystyle{ f(x)=-x+1}\), zatem wtedy nie jest to funkcja stała (jej zbiorem wartości jest zbiór lb. rzeczywistych).

2. Dwa miejsca zerowe:

\(\displaystyle{ \begin{cases} m-2\neq 0\\ \Delta>0 \end{cases}}\)

3. Dwa pierwiastki różnych znaków:

\(\displaystyle{ \begin{cases} m-2\neq0\\ \Delta>0\\ x_{1}\cdot x_{2}<0 \end{cases}}\)

4. Dwa takie pierwiastki, których kwadrat różnicy jest równy \(\displaystyle{ 9}\):

\(\displaystyle{ \begin{cases} m-2\neq0 \\ \Delta>0 \\ (x_{1}-x_{2})^{2}=9 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \rightarrow (x_{1}-x_{2})^{2}=x^{2}_{1}-2x_{1}x_{2}+x^{2}_{2}=(x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}}\)

Wystarczy zastosować wzory Viete'a:

\(\displaystyle{ (x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}=\left(\frac{3-m}{m-2}\right)^{2}-4\cdot \frac{1}{m-2}}\)

Zatem:

\(\displaystyle{ \begin{cases} m-2\neq0 \\ \Delta>0 \\ \left(\frac{3-m}{m-2}\right)^{2}-4\cdot \frac{1}{m-2}=9\end{cases}}\)

[fon_nojman]

w odp mam \(\displaystyle{ m \in (5-2 \sqrt{2},5+2 \sqrt{2} )}\)
mi tak wyszlo jak wyliczylem tylko delte.. no ale wiem ze musza byc te zalozenia

Jest dobrze bo założenia to \(\displaystyle{ m>2}\).
Zachodzi \(\displaystyle{ 2<5-2\sqrt{2}}\) - czyli ok.

[Szarl]

Mersenne, tamte co ja napisałem to ja umiem zrobić
czyli co do twojego sposobu:(mam nadzieje ze to zrozumialem)
-musi być założenie że to przy x^2 jest większe od 0 (bo chodzi o wartosci dodatnie m )
-delta<0 (bo chcemy aby wieszcholek byl ponad osia?)

a i jeszcze do tej funkcji liniowej ..
jesli wyszla by funkcja stala np f(x)=1 lub f(x)=-1 to by moglo byc m=2 . prawda?
a jak jest niestala to nie moze byc bo... no wlasnie dlaczego ?

[Mersenne]

Dodatni współczynnik przy \(\displaystyle{ x^{2}}\) oznacza, że ramiona paraboli skierowane są w górę, zaś \(\displaystyle{ \Delta<0}\) jest równoznaczna z brakiem miejsc zerowych f-cji kwadratowej, tj. parabola nie przecina osi odciętych.

[silicium2002]

U mnie jest troche bładna odp. tak to jest jak się coś za szybko robi. Sorry.
Ja wyliczyłem właśnie założenie (+ jeszcze to trzeba dodać że \(\displaystyle{ \Delta > 0}\) a potem to trzeba jeszcze np. z deltą.

Ale fakt najprościej to z robić sprawdzając deltę: mamy wtedy \(\displaystyle{ \Delta = m ^{2} - 10m + 17}\)

I teraz z tego liczymy pierwiastki którymi oczywiście są \(\displaystyle{ 5+2 \sqrt{2} \ i \ 5-2 \sqrt{2}}\)

No i odp. jest przedział między nimi.

[Szarl]

Dodatni współczynnik przy \(\displaystyle{ x^{2}}\) oznacza, że ramiona paraboli skierowane są w górę, zaś \(\displaystyle{ \Delta<0}\) jest równoznaczna z brakiem miejsc zerowych f-cji kwadratowej, tj. parabola nie przecina osi odciętych.

tak , o to mi chodziło , jednak jak to ma sie do zadania?
mam wyznaczyc dla jakich wartosci m funkcja ... przyjmuje wartosci dodatnie dla kazdego x rzeczywistego
dlaczego nie moze dotykac osi x?

[Mersenne]

Postać f-cji liniowej dana jest jako \(\displaystyle{ f(x)=ax+b}\), gdzie \(\displaystyle{ a,b \in \mathbb R}\). Dla \(\displaystyle{ a=0}\) f-cja liniowa jest f-cją stałą, w zależności od wartości \(\displaystyle{ b}\) przyjmującą wartości dodatnie (\(\displaystyle{ b>0}\)), ujemne (\(\displaystyle{ b<0}\)) bądź wartość równą \(\displaystyle{ 0}\), gdy \(\displaystyle{ b=0}\). Musisz też pamiętać, że zbiorem wartości f-cji liniowej jest zbiór lb. rzeczywistych.

[Szarl]

Postać f-cji liniowej dana jest jako \(\displaystyle{ f(x)=ax+b}\), gdzie \(\displaystyle{ a,b \in \mathbb R}\). Dla \(\displaystyle{ a=0}\) f-cja liniowa jest f-cją stałą, w zależności od wartości \(\displaystyle{ b}\) przyjmującą wartości dodatnie (\(\displaystyle{ b>0}\)), ujemne (\(\displaystyle{ b<0}\)) bądź wartość równą \(\displaystyle{ 0}\), gdy \(\displaystyle{ b=0}\). Musisz też pamiętać, że zbiorem wartości f-cji liniowej jest zbiór lb. rzeczywistych.

czyli jak jest niestała funkcja to przyjmuje gdzies wartosc ujemna czyli m=2 nie moze byc w opdowiedzia do zadania(bo funkcja miala przyjowac wartosci dodatnie) , tak ?

no i ostatnie pytanie dlaczego nie moze dotykac osi ???

[silicium2002]

no dokładnie o to chodzi, dlatego m>2 powinno być w założeniach.

... bo zero nie jest dodatnie!