granica z de l'hospital'a

[Martinez600]

zadanie zniszczyło mnie na kolokwium i chciałbym poznać rozwiązanie jeśli ktoś łaskaw.

\(\displaystyle{ lim x \rightarrow 0 ( \frac{tgx}{x})^(^ \frac{1}{x}^)}\)

oczywiste jest, że to nieoznaczoność \(\displaystyle{ 1^ \infty}\)

stosując wzór z liczbą "e" mamy: \(\displaystyle{ e^ \frac{1}{x}^l^n ^\frac{tg}{x}}\)

i liczymy lim x ->0 \(\displaystyle{ \frac{1}{x}ln \frac{tgx}{x}}\)

wiem jak wystartować.. odwracamy funkcje zeby uzyskac \(\displaystyle{ \frac{0}{0}}\) i mamy: \(\displaystyle{ lim x \rightarrow0 \frac{ln \frac{tgx}{x} }{x}}\)

tu stosujemy de l'hospitala i tu właśnie się zaczynam gubić, chociaż z pochodnymi jako tako sobie radzę.

Czy ktoś mógłby krok po kroku przedstawić rozwiązanie? i czy to co ja na początku przekształciłem jest ok?

[bryk]

Pochodna mianownika to jeden. Umiesz policzyć pochodną licznika? Trzeba zastosować wzór na pochodną funkcję złożonej.

[octahedron]

\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0}\frac{\ln\frac{\tan x}{x}}{x}\stackrel{H}{=}\lim_{x\to 0}\frac{x}{\tan x}\left( \frac{\frac{x}{\cos^2x}-\tan x}{x^2}\right)=\lim_{x\to 0}\frac{1}{\sin x\cos x}-\frac{1}{x}=\\\\
=\lim_{x\to 0}\frac{x-\sin x\cos x}{x\sin x\cos x}\stackrel{H}{=}\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos^2x+\sin^2x}{\sin x\cos x+x(\cos^2x-\sin^2x)}=\\\\=\lim_{x\to 0}\frac{2\sin x}{\cos x+\frac{x}{\sin x}-2x\sin x}=0}\)

[Martinez600]

\(\displaystyle{ {H}{=}\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos^2x+\sin^2x}{\sin x\cos x+x(\cos^2x-\sin^2x)}=\\\\=\lim_{x\to 0}\frac{2\sin x}{\cos x+\frac{x}{\sin x}-2x\sin x}=0}\)

nie rozumiem tego przekształcenia, a poza tym, w mianowniku wychodzi: \(\displaystyle{ 1 + \frac{0}{0} - 0}\)

Można to tak zostawić? przecież tam jest nieoznaczoność..

[zidan3]

\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin x}= \lim_{x \to 0}\frac{1}{\frac{\sin x}{x}}=\frac{1}{1}=1}\)

[Martinez600]

Dzięki @zidan3, ta kwestia wyjaśniona, a co z przekształceniem do formy przed zerem?

[Vardamir]

Zamieniamy w liczniku:

\(\displaystyle{ 1-\cos^2 x = \sin^2 x}\)

i w mianowniku:

\(\displaystyle{ \cos^2 x = 1-\sin^2 x}\)

oraz dzielimy licznik i mianownik przez \(\displaystyle{ \sin x}\)