Przeciwobraz funkcji.
-
- Użytkownik
- Posty: 1185
- Rejestracja: 13 paź 2012, o 17:34
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: tu i tam
- Podziękował: 528 razy
- Pomógł: 5 razy
Przeciwobraz funkcji.
Hej. Mam problem z przeciwobrazem tych funkcji :
a)
\(\displaystyle{ f \left( x \right) = x^2 - 3x + 2 \\
f^{-1} \left( \left( - \infty ;-6 \right) \right)}\)
Mam taki pomysł :
\(\displaystyle{ x^2 - 3x + 2 > -6 \\
x^2 - 3x + 8 < 0 \\
\Delta < 0}\)
Odpowiedź to : \(\displaystyle{ 0}\).
b)
\(\displaystyle{ f \left( x \right) = \sin x + 1 \\
f^{-1} \left( \left( \frac{1}{2} , + \infty \right)}\)
Tutaj znowu próba rozwiązania :
\(\displaystyle{ \sin x + 1 = \frac{1}{2} \\
\sin x = -\frac{1}{2}}\)
I? Jak pozbyć się sinusa?
Proszę o pomoc.
a)
\(\displaystyle{ f \left( x \right) = x^2 - 3x + 2 \\
f^{-1} \left( \left( - \infty ;-6 \right) \right)}\)
Mam taki pomysł :
\(\displaystyle{ x^2 - 3x + 2 > -6 \\
x^2 - 3x + 8 < 0 \\
\Delta < 0}\)
Odpowiedź to : \(\displaystyle{ 0}\).
b)
\(\displaystyle{ f \left( x \right) = \sin x + 1 \\
f^{-1} \left( \left( \frac{1}{2} , + \infty \right)}\)
Tutaj znowu próba rozwiązania :
\(\displaystyle{ \sin x + 1 = \frac{1}{2} \\
\sin x = -\frac{1}{2}}\)
I? Jak pozbyć się sinusa?
Proszę o pomoc.
Ostatnio zmieniony 12 gru 2012, o 20:06 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Poprawa wiadomości. Skaluj nawiasy.
Powód: Poprawa wiadomości. Skaluj nawiasy.
-
- Użytkownik
- Posty: 221
- Rejestracja: 23 mar 2011, o 21:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: POL
- Pomógł: 32 razy
Przeciwobraz funkcji.
Pierwsze zadanie jest zrobione źle. Ponieważ jest to funkcja kwadratowa, wystarczy nam wyznaczyć jej wierzchołek (a konkretnie współrzędną igrekową).
\(\displaystyle{ f(x) = x^2 - 3x + 2=(x-1,5)^2-0,25}\)
Ponieważ parabola ma ramiona skierowane do góry, więc przeciwobraz to \(\displaystyle{ [-0,25;+infty)}\)
Drugie zadanie
\(\displaystyle{ \sin x \in [-1;1]}\)
\(\displaystyle{ \sin x +1 \in [0;2]}\)
\(\displaystyle{ f(x) = x^2 - 3x + 2=(x-1,5)^2-0,25}\)
Ponieważ parabola ma ramiona skierowane do góry, więc przeciwobraz to \(\displaystyle{ [-0,25;+infty)}\)
Drugie zadanie
\(\displaystyle{ \sin x \in [-1;1]}\)
\(\displaystyle{ \sin x +1 \in [0;2]}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
Przeciwobraz funkcji.
To oczywiście nieprawda, proponuję, żebyś zaczął od sprawdzenia czym się różni obraz od przeciwobrazu.maciejsporysz pisze:przeciwobraz to \(\displaystyle{ [-0,25;+infty)}\)
Proponowany przez autorkę tematu początek rozwiązania pierwszego zadania jest w porządku, ale nierówność:
\(\displaystyle{ x^2-3x+2<-6}\)
jest oczywiście równoważna:
\(\displaystyle{ x^2-3x+8<0}\)
a ta nie ma rozwiązań. Stąd:
\(\displaystyle{ f^{-1} \left( \left( - \infty ;-6 \right) \right)= \emptyset}\)
W drugim zadaniu chcemy, żeby:
\(\displaystyle{ \sin x + 1 > \frac 12}\)
czyli:
\(\displaystyle{ \sin x > -\frac 12}\)
a to prosta nierówność trygonometryczna, której rozwiązaniem jest:
\(\displaystyle{ \left( -\frac{\pi}{6}+2k\pi; \frac{7\pi}{6}+ 2k\pi\right)}\) dla \(\displaystyle{ k\in \mathbb{Z}}\)
i taki właśnie jest przeciwobraz żądanego zbioru.
Q.
-
- Administrator
- Posty: 34542
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 5226 razy
Przeciwobraz funkcji.
Zaryzykowałbym nawetQń pisze:a to prosta nierówność trygonometryczna, której rozwiązaniem jest:
\(\displaystyle{ \left( -\frac{\pi}{6}+2k\pi; \frac{7\pi}{6}+ 2k\pi\right)}\) dla \(\displaystyle{ k\in \mathbb{Z}}\)
i taki właśnie jest przeciwobraz żądanego zbioru.
\(\displaystyle{ \bigcup_{k\in\ZZ} \left( -\frac{\pi}{6}+2k\pi; \frac{7\pi}{6}+ 2k\pi\right)}\).
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 1185
- Rejestracja: 13 paź 2012, o 17:34
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: tu i tam
- Podziękował: 528 razy
- Pomógł: 5 razy
Przeciwobraz funkcji.
Ta odpowiedź w 1 zadaniu była spisana z podręcznika, jednak gafa była moja, bo ten zbiorek jako 0 oznacza zbiór pusty.
Czyli myślałam dobrze, dziękuję za potwierdzenie .
A jeśli chodzi o tego sinusa
\(\displaystyle{ \sin x \le -\frac{1}{2}}\)
Sinus ma wartość 0.5 przy 30 stopniach. To rozumiem. A skąd \(\displaystyle{ \frac{7\pi}{6}}\) ?
Czyli myślałam dobrze, dziękuję za potwierdzenie .
A jeśli chodzi o tego sinusa
\(\displaystyle{ \sin x \le -\frac{1}{2}}\)
Sinus ma wartość 0.5 przy 30 stopniach. To rozumiem. A skąd \(\displaystyle{ \frac{7\pi}{6}}\) ?
-
- Administrator
- Posty: 34542
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 5226 razy
Przeciwobraz funkcji.
Raczej \(\displaystyle{ \sin x > -\frac{1}{2}}\).myszka9 pisze:A jeśli chodzi o tego sinusa
\(\displaystyle{ \sin x \le -\frac{1}{2}}\)
Wiesz jak wygląda wykres funkcji sinus?myszka9 pisze:Sinus ma wartość 0.5 przy 30 stopniach. To rozumiem. A skąd \(\displaystyle{ \frac{7\pi}{6}}\) ?
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 1185
- Rejestracja: 13 paź 2012, o 17:34
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: tu i tam
- Podziękował: 528 razy
- Pomógł: 5 razy
Przeciwobraz funkcji.
A hipotetycznie gdyby było \(\displaystyle{ \sin x < \frac{1}{2}}\)
to rozwiązaniem jest :
\(\displaystyle{ \left(\frac{\pi}{6} -2k\pi ; \frac{7\pi}{6} -2k\pi \right)}\).
to rozwiązaniem jest :
\(\displaystyle{ \left(\frac{\pi}{6} -2k\pi ; \frac{7\pi}{6} -2k\pi \right)}\).
Ostatnio zmieniony 13 gru 2012, o 19:45 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
-
- Administrator
- Posty: 34542
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 5226 razy
Przeciwobraz funkcji.
Nie. Rozwiązaniem jest
\(\displaystyle{ \bigcup_{k\in\ZZ}\left( \frac{5}{6}\pi+2k\pi,\frac{13}{6}\pi+2k\pi \right)}\).
JK
\(\displaystyle{ \bigcup_{k\in\ZZ}\left( \frac{5}{6}\pi+2k\pi,\frac{13}{6}\pi+2k\pi \right)}\).
JK