Witam,
Czy ktoś mógłby mi pomóc w zrozumieniu co to jest rezolwenta, gdyż w internecie mam problem ze znalezieniem zrozumiałych informacji. Mam również takie zadania:
Znaleźć rezolwentę dla równania \(\displaystyle{ x^{'}=tx}\)
Będę wdzięczna za każdą pomoc
Rezolwenta w równaniach różniczkowych
-
metamatyk
- Użytkownik
- Posty: 107
- Rejestracja: 26 lip 2004, o 02:38
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 6 razy
Rezolwenta w równaniach różniczkowych
\(\displaystyle{ x'=tx}\)
\(\displaystyle{ x(t)-x(0)=\int_{0}^{t}sx(s)ds}\)
\(\displaystyle{ x(t)=x(0)+\int_{0}^{t}sx(s)ds}\)
Jest to równanie całkowe Volterry z jądrem
\(\displaystyle{ K(x,t)=t}\)
Aby znaleźć rezolwentę wystarczy wyznaczyć tzw jądra iterowane
\(\displaystyle{ K_{n+1}(x,t)=\int_{t}^{x}K(x,z)K_{n}(z,t)dz}\)
\(\displaystyle{ K_{1}(x,t)=K(x,t)}\)
\(\displaystyle{ K_{2}(x,t)=\int_{t}^{x}ztdz=t\frac{x^2-t^2}{2}}\)
\(\displaystyle{ K_{3}(x,t)=\int_{t}^{x}zt\frac{z^2-t^2}{2}dz=\frac{t}{2}\frac{x^4-t^4}{4}-\frac{t^3}{2}\frac{x^2-t^2}{2}=\frac{x^2-t^2}{2}\bigg(\frac{t}{2}\frac{x^2+t^2}{2}-\frac{t^3}{2}\bigg)\\=\frac{t(x^2-t^2)}{2}\bigg(\frac{x^2-t^2}{4}\bigg)=t\frac{(x^2-t^2)^2}{8}}\)
Pewnie będzie tak:
\(\displaystyle{ K_{n+1}(x,t)=t\frac{(x^2-t^2)^n}{2^{n+1}}}\)
Wreszcie rezolwentą będzie szereg:
\(\displaystyle{ R(x,t,\lambda)=\sum_{n=0}^{\infty}\lambda^nt\frac{(x^2-t^2)^n}{2^{n+1}}}\)
\(\displaystyle{ x(t)-x(0)=\int_{0}^{t}sx(s)ds}\)
\(\displaystyle{ x(t)=x(0)+\int_{0}^{t}sx(s)ds}\)
Jest to równanie całkowe Volterry z jądrem
\(\displaystyle{ K(x,t)=t}\)
Aby znaleźć rezolwentę wystarczy wyznaczyć tzw jądra iterowane
\(\displaystyle{ K_{n+1}(x,t)=\int_{t}^{x}K(x,z)K_{n}(z,t)dz}\)
\(\displaystyle{ K_{1}(x,t)=K(x,t)}\)
\(\displaystyle{ K_{2}(x,t)=\int_{t}^{x}ztdz=t\frac{x^2-t^2}{2}}\)
\(\displaystyle{ K_{3}(x,t)=\int_{t}^{x}zt\frac{z^2-t^2}{2}dz=\frac{t}{2}\frac{x^4-t^4}{4}-\frac{t^3}{2}\frac{x^2-t^2}{2}=\frac{x^2-t^2}{2}\bigg(\frac{t}{2}\frac{x^2+t^2}{2}-\frac{t^3}{2}\bigg)\\=\frac{t(x^2-t^2)}{2}\bigg(\frac{x^2-t^2}{4}\bigg)=t\frac{(x^2-t^2)^2}{8}}\)
Pewnie będzie tak:
\(\displaystyle{ K_{n+1}(x,t)=t\frac{(x^2-t^2)^n}{2^{n+1}}}\)
Wreszcie rezolwentą będzie szereg:
\(\displaystyle{ R(x,t,\lambda)=\sum_{n=0}^{\infty}\lambda^nt\frac{(x^2-t^2)^n}{2^{n+1}}}\)