Wykazać, że dla dowolnych liczb zespolonych z i w zachodzi następująca równość:
\(\displaystyle{ \sin (z-w)=\sin z\cos w-\cos z\sin w}\)
jak to udowodnić?
liczby zespolone- dowód
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10240
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2367 razy
liczby zespolone- dowód
A jaka jest definicja \(\displaystyle{ \sin z, \ \cos z?}\) Jeśli szeregi, to przyda się mnożenie szeregów metodą Cauchy'ego. Pewnie da się to zrobić również korzystając ze wzorów Eulera z funkcją \(\displaystyle{ e^z.}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 86
- Rejestracja: 1 paź 2011, o 00:45
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Pomógł: 16 razy
liczby zespolone- dowód
Z bezpośrednich definicji trygonometrycznych funkcji zespolonych opartej o zespolony szereg Taylora byłoby to trudniejsze ale można to zrobić prościej. Mianowicie da się łatwo wyprowadzić ze wzoru Eulera zależności:
\(\displaystyle{ \sin(z) = \frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i} \\ \cos(z) = \frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}}\)
Korzystając z tych dwóch wzorów można już łatwo udowodnić powyższą równość.
\(\displaystyle{ \sin(z) = \frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i} \\ \cos(z) = \frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}}\)
Korzystając z tych dwóch wzorów można już łatwo udowodnić powyższą równość.