Jak rozpisać granice ciągu...

[infeq]

Witam. Mam problem z obliczeniem danej granicy \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \left[ n \left( \frac{1}{n ^{2}+1}+\frac{1}{n ^{2}+2}+\frac{1}{n ^{2}+3}+...+\frac{1}{n ^{2}+n} \right) \right]}\). Wiem, że należy tu zastosować twierdzenie o trzech ciągach ale nie mogę dojść do tego od czego to wyrażenie ma być mniejsze lub równe i większe lub równe. Proszę o pomoc.


\(\displaystyle{ ... \le \frac{n}{n ^{2}+1}+\frac{n}{n ^{2}+2}+\frac{n}{n ^{2}+3}+...+\frac{n}{n ^{2}+n}\le ...}\)

[chris_f]

Spróbuj tak
\(\displaystyle{ \frac{n}{n^2+n}+\frac{n}{n^2+n}+...+\frac{n}{n^2+n}\dots\le
\frac{n}{n^2+1}+\frac{n}{n^2+2}+\dots+\frac{n}{n^2+n}\le
\frac{n}{n^2+1}+\frac{n}{n^2+1}+...+\frac{n}{n^2+1}}\)

[infeq]

nie może być... bo tu wychodzi granica równa \(\displaystyle{ 0}\) a ma wyjść wynik \(\displaystyle{ 1}\)

[chris_f]

No bez żartów:
po lewej stronie masz \(\displaystyle{ n}\) razy wyrażenie \(\displaystyle{ \frac{n}{n^2+n}}\) co daje
\(\displaystyle{ \frac{n^2}{n^2+n}\to1}\)
a po prawej \(\displaystyle{ n}\) razy wyrażenie \(\displaystyle{ \frac{n}{n^2+1}}\) czyli
\(\displaystyle{ \frac{n^2}{n^2+1}\to1}\)

[infeq]

w takim sensie to tak... ja na początku już wymnożyłem przez \(\displaystyle{ n}\) dlatego jest \(\displaystyle{ ... \le \frac{n}{n ^{2}+1}+\frac{n}{n ^{2}+2}+\frac{n}{n ^{2}+3}+...+\frac{n}{n ^{2}+n}\le ...}\)

ps. ale tak jak jest napisane \(\displaystyle{ \frac{n ^{2} }{n^2+n}+\frac{n^{2}}{n^2+n}+...+\frac{n^{2}}{n^2+n}\dots\le \frac{n}{n^2+1}+\frac{n}{n^2+2}+\dots+\frac{n}{n^2+n}\le \frac{n^{2}}{n^2+1}+\frac{n^{2}}{n^2+1}+...+\frac{n^{2}}{n^2+1}}\) to każde takie pojedyńcze wyrażenie np. \(\displaystyle{ \frac{n ^{2} }{n^2+n}}\) ma granicę równą \(\displaystyle{ 1}\) i te jedynki będą się sumowały więc na pewno tak ma być ?

[chris_f]

No i do tego wyrażenia
\(\displaystyle{ ... \le \frac{n}{n ^{2}+1}+\frac{n}{n ^{2}+2}+\frac{n}{n ^{2}+3}+...+\frac{n}{n ^{2}+n}\le ...}\)
stosujesz to oszacowanie. W czym problem?

[infeq]

wyżej jest napisane

[niestabilny]

Chyba masz rację. Ale nie wiem na 100%.

[infeq]

Proszę o pomoc. Bo nie wiem, czy może tak być jak dostałem w odpowiedzi. Będę wdzięczny.

[chris_f]

Już masz wszystko. Masz policzyć granicę
\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } [n( \frac{1}{n ^{2}+1}+\frac{1}{n ^{2}+2}+\frac{1}{n ^{2}+3}+...+\frac{1}{n ^{2}+n})]}\)
No to wymnażasz przez \(\displaystyle{ n}\) i dostajesz
\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty }\left(\frac{n}{n^2+1}+\frac{n}{n^2+2}+\frac{n}{n^2+3}+...+\frac{n}{n^2+n}\right)}\)
I teraz do obliczenia tej granicy korzystasz z twierdzenia o trzech ciągach. Musisz znaleźć ciągi ograniczające go z góry i z dołu, zbieżne do tej samej granicy.
No to podałem:
ciąg ograniczający z dołu:
\(\displaystyle{ \frac{n}{n^2+n}+\frac{n}{n^2+n}+...+\frac{n}{n^2+n}}\)
Mamy tu sumę \(\displaystyle{ n}\) takich samych ułamków, więc ich suma będzie równa
\(\displaystyle{ n\cdot\frac{n}{n^2+n}=\frac{n^2}{n^2+n}}\)
a to wyrażenie dąży do \(\displaystyle{ 1}\).
Analogicznie ciągiem ograniczającym z góry będzie ciąg
\(\displaystyle{ \frac{n}{n^2+1}+\frac{n}{n^2+1}+...+\frac{n}{n^2+1}}\)
Znowu mamy sumę \(\displaystyle{ n}\) takich samych ułamków, a zatem suma ta wynosi
\(\displaystyle{ n\cdot\frac{n}{n^2+1}=\frac{n^2}{n^2+1}}\)
No i bez większych problemów dostajemy, ze ta suma też dąży do \(\displaystyle{ 1}\).
W takim razie suma w środku (czyli to co masz pod granicą) dąży do?????????

Nie wiem skąd wam się te problemy biorą.

[infeq]

Ok dziękuję