oblicz \(\displaystyle{ f^{(20)} (x)}\)
gdzie
\(\displaystyle{ x^2 e^{2x} = f(x) \\
f \ ' (x) = [ e^{2x} [ 2x + 2x^2 ]] \\
f \ '' (x) = [e^{2x} [ 4x^2 + 8x + 2 ]]\\
f^{|||}(x) = [e^{2x} [ 8x^2 + 24x + 12 ]] \\
f^{|V}(x) = [e^{2x} [ 16x^2 + 64x + 48]]\\
f^{V}(x) = [e^{2x} [ 32x^2 + 160x + 160 ]]}\)
wtedy
\(\displaystyle{ f^{n}(x) = [e^{2x} [ A_nx^2 + B_nx + C_n ]] \\
A_n = 2^n \\
B_n = n \ \cdot \ 2^n \\
\begin{cases} C_n = B_{n-1} + 2 C_{n-1} \\ c_1= 0\end{cases}}\)
i pytanie jak obliczyć \(\displaystyle{ c_n}\) ?
pochodna funkcji wyższego rzędu
-
Qń
- Użytkownik
- Posty: 9724
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2633 razy
pochodna funkcji wyższego rzędu
Jeśli pytasz o sam wynik, to \(\displaystyle{ C_n=n(n-1)2^{n-2}}\).
A jeśli pytasz o metodę, to można policzyć identycznie jak \(\displaystyle{ A_n}\) i \(\displaystyle{ B_n}\).
Q.
A jeśli pytasz o metodę, to można policzyć identycznie jak \(\displaystyle{ A_n}\) i \(\displaystyle{ B_n}\).
Q.
-
Kamilwit
- Użytkownik
- Posty: 43
- Rejestracja: 6 lis 2011, o 12:30
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 1 raz
pochodna funkcji wyższego rzędu
\(\displaystyle{ A_n}\) i \(\displaystyle{ B_n}\) zostało podane na sposobie " widzenia " zależności.
w takim razie jaki sposób Ty masz na myśli ?
bo w \(\displaystyle{ c_n}\) nie widać już tej zależności na " rzut " oka
w takim razie jaki sposób Ty masz na myśli ?
bo w \(\displaystyle{ c_n}\) nie widać już tej zależności na " rzut " oka
-
Qń
- Użytkownik
- Posty: 9724
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2633 razy
pochodna funkcji wyższego rzędu
Warunki początkowe to:
\(\displaystyle{ A_0=1, B_0=0, C_0=0}\)
Zależności rekurencyjne to:
\(\displaystyle{ A_n=2A_{n-1}, B_n=2A_{n-1} + 2B_{n-1}, C_n= B_{n-1}+2C_{n-1}}\)
Z pierwszej rekurencji widać, że \(\displaystyle{ A_n}\) jest ciągiem geometrycznym o ilorazie \(\displaystyle{ 2}\), więc łatwo pokazać, że \(\displaystyle{ A_n=2^n}\).
W takim razie druga rekurencja to \(\displaystyle{ B_n=2^n+2B_{n-1}}\), a po podzieleniu przez \(\displaystyle{ 2^n}\):
\(\displaystyle{ \frac{B_n}{2^n}=\frac{B_{n-1}}{2^{n-1}}+1}\)
Widać stąd, że ciąg \(\displaystyle{ Y_n= \frac{B_n}{2^n}}\) jest ciągiem arytmetycznym o różnicy \(\displaystyle{ 1}\), więc łatwo pokazać, że \(\displaystyle{ Y_n= n}\), a co za tym idzie \(\displaystyle{ B_n=n2^n}\).
W takim razie trzecia rekurencja to \(\displaystyle{ C_n= (n-1)2^{n-1}+2C_{n-1}}\), a po podzieleniu przez \(\displaystyle{ 2^{n-1}}\):
\(\displaystyle{ \frac{C_n}{2^{n-1}}= n-1 + \frac{C_{n-1}}{2^{n-2}}}\)
W takim razie jeśli położymy \(\displaystyle{ Z_n= \frac{C_n}{2^{n-1}}}\), to nietrudno zauważyć, że \(\displaystyle{ Z_n}\) jest sumą liczb od \(\displaystyle{ 0}\) do \(\displaystyle{ n-1}\), czyli \(\displaystyle{ Z_n= \frac{n(n-1)}{2}}\), a co za tym idzie \(\displaystyle{ C_n= n(n-1)2^{n-2}}\).
Q.
\(\displaystyle{ A_0=1, B_0=0, C_0=0}\)
Zależności rekurencyjne to:
\(\displaystyle{ A_n=2A_{n-1}, B_n=2A_{n-1} + 2B_{n-1}, C_n= B_{n-1}+2C_{n-1}}\)
Z pierwszej rekurencji widać, że \(\displaystyle{ A_n}\) jest ciągiem geometrycznym o ilorazie \(\displaystyle{ 2}\), więc łatwo pokazać, że \(\displaystyle{ A_n=2^n}\).
W takim razie druga rekurencja to \(\displaystyle{ B_n=2^n+2B_{n-1}}\), a po podzieleniu przez \(\displaystyle{ 2^n}\):
\(\displaystyle{ \frac{B_n}{2^n}=\frac{B_{n-1}}{2^{n-1}}+1}\)
Widać stąd, że ciąg \(\displaystyle{ Y_n= \frac{B_n}{2^n}}\) jest ciągiem arytmetycznym o różnicy \(\displaystyle{ 1}\), więc łatwo pokazać, że \(\displaystyle{ Y_n= n}\), a co za tym idzie \(\displaystyle{ B_n=n2^n}\).
W takim razie trzecia rekurencja to \(\displaystyle{ C_n= (n-1)2^{n-1}+2C_{n-1}}\), a po podzieleniu przez \(\displaystyle{ 2^{n-1}}\):
\(\displaystyle{ \frac{C_n}{2^{n-1}}= n-1 + \frac{C_{n-1}}{2^{n-2}}}\)
W takim razie jeśli położymy \(\displaystyle{ Z_n= \frac{C_n}{2^{n-1}}}\), to nietrudno zauważyć, że \(\displaystyle{ Z_n}\) jest sumą liczb od \(\displaystyle{ 0}\) do \(\displaystyle{ n-1}\), czyli \(\displaystyle{ Z_n= \frac{n(n-1)}{2}}\), a co za tym idzie \(\displaystyle{ C_n= n(n-1)2^{n-2}}\).
Q.