Ukryta treść:
Ustalmy liczbę naturalną \(\displaystyle{ n\geq 4}\). Niech \(\displaystyle{ P_n=\lbrace n,n+1,\ldots, n^6-1\rbrace}\), \(\displaystyle{ f(x,y,z)=x^2+y^3 +z^6}\), \(\displaystyle{ A=\lbrace 0,1,\ldots,n^3-1\rbrace\times\lbrace 0,1,\ldots, n^2-1\rbrace\times\lbrace 0,1,\ldots, n-1\rbrace}\), \(\displaystyle{ B=\lbrace n^3-1\rbrace\times \lbrace 0,1,\ldots, n^2-1\rbrace\times\lbrace n-1\rbrace}\), zaś niech \(\displaystyle{ L_n}\) oznacza zbiór takich liczb \(\displaystyle{ k\in P_n}\), że istnieją takie dodatnie liczby całkowite \(\displaystyle{ x,y,z}\), że \(\displaystyle{ k=f(x,y,z)}\).
Załóżmy, że \(\displaystyle{ f(x,y,z)\in L_n}\). Wówczas \(\displaystyle{ x^2\leq x^2+y^3+z^6\leq n^6-1<n^6}\), z czego wynika, że \(\displaystyle{ x<n^3}\), czyli \(\displaystyle{ x\leq n^3-1}\) (bo \(\displaystyle{ x}\) jest liczbą całkowitą). Analogicznie dowodzimy nierówności \(\displaystyle{ y\leq n^2-1}\) i \(\displaystyle{ z\leq n-1}\). Wynika z tego, że jeżeli \(\displaystyle{ f(x,y,z)\in L_n}\), to \(\displaystyle{ (x,y,z)\in A}\).
Zauważmy, że jeżeli \(\displaystyle{ (x,y,z)\in B}\), to
\(\displaystyle{ f(x,y,z)=(n^3-1)^2+y^3+(n-1)^6\geq(n^3-1)^2+(n-1)^6=(n-1)^6-2n^3+ (n^6+1)=}\)
\(\displaystyle{ =((n-1)^2-\sqrt[3]{2}n)((n-1)^4+(n-1)^2\cdot \sqrt[3]{2}n +(\sqrt[3]{2}n)^2) +(n^6+1).}\)
Ponieważ
\(\displaystyle{ (n-1)^2-\sqrt[3]{2}n >(n-1)^2-2n=n^2-4n+1=(n-2)^2-3>1,}\)
\(\displaystyle{ to}\)
\(\displaystyle{ f(x,y,z)> n^6+1>n^6-1.}\)
Z powyższego wynika, że jeśli \(\displaystyle{ f(x,y,z)\in L_n}\), to \(\displaystyle{ (x,y,z)\notin B}\), zatem \(\displaystyle{ (x,y,z)\in A\setminus B}\).
Rozważmy funkcję \(\displaystyle{ f}\) na zbiorze \(\displaystyle{ A/B}\). Z powyższych rozważań wynika, że podzbiorem obrazu tego zbioru w funkcji \(\displaystyle{ f}\) jest zbiór \(\displaystyle{ L_n}\). Wynika z tego, że \(\displaystyle{ \overline{L_n}\leq \overline{A\setminus B}=n^6-n^2<n^6-n=\overline{P_n}}\). Wynika z tego, że w zbiorze$\(\displaystyle{ P_n}\) istnieje taka liczba \(\displaystyle{ k}\), że nie istnieją liczby całkowite dodatnie \(\displaystyle{ x,y,z}\), takie, że \(\displaystyle{ k=x^2+y^3+z^6}\).
Biorąc za \(\displaystyle{ n}\) liczbę \(\displaystyle{ 2012^{2012}+1}\) stwierdzamy, że odpowiedź na pytanie postawione w zadaniu jest pozytywna.
Odp. Tak.
Załóżmy, że \(\displaystyle{ f(x,y,z)\in L_n}\). Wówczas \(\displaystyle{ x^2\leq x^2+y^3+z^6\leq n^6-1<n^6}\), z czego wynika, że \(\displaystyle{ x<n^3}\), czyli \(\displaystyle{ x\leq n^3-1}\) (bo \(\displaystyle{ x}\) jest liczbą całkowitą). Analogicznie dowodzimy nierówności \(\displaystyle{ y\leq n^2-1}\) i \(\displaystyle{ z\leq n-1}\). Wynika z tego, że jeżeli \(\displaystyle{ f(x,y,z)\in L_n}\), to \(\displaystyle{ (x,y,z)\in A}\).
Zauważmy, że jeżeli \(\displaystyle{ (x,y,z)\in B}\), to
\(\displaystyle{ f(x,y,z)=(n^3-1)^2+y^3+(n-1)^6\geq(n^3-1)^2+(n-1)^6=(n-1)^6-2n^3+ (n^6+1)=}\)
\(\displaystyle{ =((n-1)^2-\sqrt[3]{2}n)((n-1)^4+(n-1)^2\cdot \sqrt[3]{2}n +(\sqrt[3]{2}n)^2) +(n^6+1).}\)
Ponieważ
\(\displaystyle{ (n-1)^2-\sqrt[3]{2}n >(n-1)^2-2n=n^2-4n+1=(n-2)^2-3>1,}\)
\(\displaystyle{ to}\)
\(\displaystyle{ f(x,y,z)> n^6+1>n^6-1.}\)
Z powyższego wynika, że jeśli \(\displaystyle{ f(x,y,z)\in L_n}\), to \(\displaystyle{ (x,y,z)\notin B}\), zatem \(\displaystyle{ (x,y,z)\in A\setminus B}\).
Rozważmy funkcję \(\displaystyle{ f}\) na zbiorze \(\displaystyle{ A/B}\). Z powyższych rozważań wynika, że podzbiorem obrazu tego zbioru w funkcji \(\displaystyle{ f}\) jest zbiór \(\displaystyle{ L_n}\). Wynika z tego, że \(\displaystyle{ \overline{L_n}\leq \overline{A\setminus B}=n^6-n^2<n^6-n=\overline{P_n}}\). Wynika z tego, że w zbiorze$\(\displaystyle{ P_n}\) istnieje taka liczba \(\displaystyle{ k}\), że nie istnieją liczby całkowite dodatnie \(\displaystyle{ x,y,z}\), takie, że \(\displaystyle{ k=x^2+y^3+z^6}\).
Biorąc za \(\displaystyle{ n}\) liczbę \(\displaystyle{ 2012^{2012}+1}\) stwierdzamy, że odpowiedź na pytanie postawione w zadaniu jest pozytywna.
Odp. Tak.
