Równe granice

[rafalpw]

Udowodnij twierdzenie:
Dany jest ciąg \(\displaystyle{ \left\{ x _{n} \right\}}\)
Jeżeli istnieje granica \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \frac{ x_{n+1} }{x _{n} }=A}\)
i istnieje granica \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \sqrt[n]{x _{n} }=C}\)
to \(\displaystyle{ A=C}\)

Próbowałem to robić z definicji granicy co prowadzi do twierdzenia o trzech ciągach, ale wynika z tego tylko, że \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty }x _{n} = \lim_{n \to \infty } x _{n+1}}\)

[szw1710]

Jeśli ciąg \(\displaystyle{ (x_n)}\) ma granicę, to \(\displaystyle{ (x_{n+1})}\) jako jego podciąg ma tę samą granicę - to trywialne i nie trzeba tu twierdzenia o trzech ciągach. Nie precyzujesz do końca założeń. W takim brzmieniu musi być \(\displaystyle{ x_n>0}\) dla wszystkich \(\displaystyle{ n\in\NN}\).

Z tego że ciąg o wyrazach \(\displaystyle{ \frac{x_{n+1}}{x_n}}\) ma granicę, nie wynika, że ciąg \(\displaystyle{ (x_n)}\) ma granicę. Przykładem jest \(\displaystyle{ (-1)^n}\). Oczywiście ten ciąg nie ma wszystkich (ani prawie wszystkich) wyrazów dodatnich.

Nad dowodem zasadniczej części zadania teraz nie będę myślał, ale powinien znajdować się w Fichtenholzu.

[Inkwizytor]

Mi za bardzo "pachnie" tu analogią do kryteriów zbieżności szeregów a jak wiadomo kryterium pierwiastkowe Cauchy'ego jest silniejsze od d'Alemberta.
A w tym zadaniu z tak sformułowanego twierdzenia wynika, że to będzie równoważność.
Choć w tej chwili żaden kontrprzykład mi nie przychodzi do głowy. :-/

[bryk]

W zadaniu powinno być ciąg o wyrazach dodatnich
Da się to łatwo udowodnić, wychodząc z takiego twierdzenia : Jeżeli \(\displaystyle{ a_{n}}\) jest ciągiem o wyrazach dodatnich i istnieje
\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } a_{n} = g}\) to \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{a_{1}...a_{n}} = g}\).
To da się wyprowadzić z tego, że jeśli \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } a_{n} = g}\) to \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{a_{1} +...+a_{n}}{n} = g}\).
Ostatnie twierdzenie można ze tw. Stolza lub normalnie udowodnić, jakbyś potrzebował dowodu to podeślę .

Ukryta treść:    

Teraz wystarczy do tego pierwiastka podstawić za pierwszy wyraz ciągu \(\displaystyle{ a_{1}}\) a za n-ty \(\displaystyle{ \frac{a_{n}}{a_{n-1}}}\)

Oczywiście nie jest to równoważność, bo w drugą stronę to 'nie zadziała'.