zaprzeczenie relacji równoważności

[Matys015]

Witam !

Muszę zapisać za pomocą kwantyfikatorów, spójników logicznych i wyrażeń \(\displaystyle{ x \in X}\) , \(\displaystyle{ x \not\in X}\) , \(\displaystyle{ R(x, y)}\) , \(\displaystyle{ \neg R(x, y)}\) że relacja R nie jest relacją równoważności na zbiorze X.

Zrobiłem to w taki sposób :

\(\displaystyle{ \neg (((\forall x \in X R(x, x)) \wedge (\forall x,y (R(x, y) \Rightarrow R(y,x)))) \wedge (\forall x,y,z (R(x,y) \wedge R(y,z)) \Rightarrow R(x,z)))}\)

\(\displaystyle{ \Leftrightarrow}\)

\(\displaystyle{ \neg((\forall x \in X R(x,x)) \wedge (\forall x,y (R(x,y) \Rightarrow R(y,x))) \vee \neg(\forall x,y,z (R(x,y) \wedge R(y,z)) \Rightarrow R(x,z))}\)

\(\displaystyle{ \Leftrightarrow}\)

\(\displaystyle{ (\neg(\forall x \in X R(x,x)) \vee \neg(\forall x,y (R(x,y) \Rightarrow R(y,x)))) \vee (\exists x,y,z \neg((R(x,y) \wedge R(y,z)) \Rightarrow R(x,z))}\)

\(\displaystyle{ \Leftrightarrow}\)

\(\displaystyle{ (\exists x \in X \neg R(x,x)) \vee (\exists x,y \neg (R(x,y) \Rightarrow R(y,x))) \vee (\exists x,y,z ((R(x,y) \wedge R(y,z)) \wedge \neg R(x,z)))}\)

\(\displaystyle{ \Leftrightarrow}\)

\(\displaystyle{ (\exists x \in X \neg R(x,x)) \vee (\exists x,y R(x,y) \wedge \neg R(y,x)) \vee (\exists x,y,z (R(x,y) \wedge R(y,z) \wedge \neg R(x,z))}\)

Czy to jest poprawnie ? W przeciwnym razie proszę o wskazówki.

[Jan Kraszewski]

Poprawnie, choć strasznie się narobiłeś. Można było zauważyć, że masz zapisać

\(\displaystyle{ (R\mbox{ nie jest zwrotna})\lor(R\mbox{ nie jest symetryczna})\lor(R\mbox{ nie jest przechodnia})}\)

i od razu zapisać to wyrażenie, ale jak pewniej czujesz się przekształcając, to można i tak.

JK

[Matys015]

W takim razie rozpatrzę sobie i takie rozwiązanie.

Bardzo dziękuję.