Badanie istnienia pochodnej trzeciego stopnia

[michas-__]

Mam zbadać istnienie pochodnej trzeciego rzędu dla funkcji, jednak nie jestem pewien czy to, co wychodzi mi na końcu jest już rozwiązaniem, czy też muszę jeszcze coś dopisać.

Zadanie: \(\displaystyle{ f^{(3)}(0) \hbox{ dla } f(x)=x^{3}|x|}\)

Rozwiązałem to z tw. Taylora:
\(\displaystyle{ x^{3}|x|=0+\frac{f'(0)}{1!}(x-0)+\frac{f''(0)}{2!}(x-0)^{2}+\frac{f^{(3)}(0+\theta(x-0))}{3!}(x-0)^{3}}\)
To się prawie wszystko zeruje, po czym dostaję:
\(\displaystyle{ 24|x|=f^{(3)}(\theta x)}\)
Po wyliczeniu pochodnej trzeciego stopnia z \(\displaystyle{ \theta x}\), która równa się 0, otrzymuję:
\(\displaystyle{ |x|=0}\)

Teraz moje pytanie: czy wystarczy zapisać \(\displaystyle{ \forall \theta \in (0,1) \quad x=0}\), bo sprawdzamy dla \(\displaystyle{ x_{0}=0}\) czy trzeba to jeszcze jakoś dokładniej uzasadnić? Próbowałem znaleźć coś w sieci, jednak nie było satysfakcjonującego mnie rozwiązania.
Oczywiście, jeśli w którymś miejscu popełniłem błąd, to proszę o poprawkę (to moje pierwsze zadanie tego typu).

[szw1710]

Oczywiście kłopot mamy tylko w zerze. Zbadaj pochodne jednostronne.