Zbieżność szeregu

[Mefistofeles]

\(\displaystyle{ \sum_{1}^{ \infty } \left( \frac{n-1}{2n+1} \right) ^{2n}}\) Czy ten szereg jest zbieżny czy rozbieżny? Z kryterium Cauchy'ego i "na piechotkę" doszedłem do tego, że jest zbieżny. Jednak moja wykładowczyni stwierdziła, że nie i nie raczyła mi wyjaśnić gdzie robię błąd. Będę wdzięczny za pomoc.

[Zordon]

Zbieżny z kryterium Cauchyego, czy też dAlamberta.

[Mefistofeles]

Mógłbyś mi zaprezentować jak to robisz?

[Zordon]

Liczę odpowiednią granicę i wychodzi \(\displaystyle{ \frac{1}{4}}\), nie ma tu żadnej filozofii.

[madzieq92]

Skorzystaj z kryterium Cauchy'ego, który brzmi:

\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \sqrt[n]{a_n}}\), gdzie \(\displaystyle{ a_n}\) to Twoje wyrazy szeregu.

Podstawiasz, za \(\displaystyle{ a_n}\) wyrazy Twojego szeregu, czyli \(\displaystyle{ \left( \frac{n-1}{2n+1} \right) ^{2n}}\)i liczysz tą granicę, jeśli wyjdzie mniejsza od 1 to szereg jest zbieżny, jeśli większa to rozbieżny. Jeśli zaś wyszłaby Ci 1, to kryterium nie rostrzyga i trzeba poszukać innej metody badania zbieżności. No to liczymy :


\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \sqrt[n]{a_n} = \lim_{ n\to \infty } \sqrt[n]{ \left( \frac{n-1}{2n+1} \right) ^{2n}} = \lim_{n \to \infty } \left( \frac{n-1}{2n+1} \right) ^{2} = \lim_{ n\to \infty } \frac{n^2-2n+1}{4n^2+4n+1} = \frac{1}{4}}\)

Granica jest mniejsza od 1, więc szereg jest zbieżny.

Pozdrawiam )

[Chromosom]

Przedstaw poprawne rozwiązanie i jeszcze raz poproś o wyjaśnienie - każdy może popełnić błąd, zwłaszcza po wielu latach pracy z danym zagadnieniem powyższe obliczenia jednoznacznie wskazują, że szereg jest zbieżny.