Pochodna funkcji tryg.

[Viris]

Witam, mam że tak powiem problem z tym że nie wiem gdzie robię błąd
Otóż zadanie wygląda następująco:

\(\displaystyle{ f'(x)=\arctan ^{2} \sqrt{1- x^{2} }}\)

Napiszę jak liczę i bardzo bym prosił pokazać mi gdzie robię błąd i najlepiej nie końcowy wynik (bo go znam) a sposób w jaki to go wyliczyć.

więc,

\(\displaystyle{ = 2\arctan \sqrt{1- x^{2} } = \frac{1}{1+ \sqrt{1-x ^{2} } ^{2} }}\)

Wiem że to źle ale skoro taki jest wzór to nie wiem co można innego tutaj zrobić, proszę o oświecenie

[MichalPWr]

\(\displaystyle{ f'(x)=\arctan ^{2} \sqrt{1- x^{2} }=2\arctan \sqrt{1- x^{2} } \cdot \frac{1}{1- x^{2} +1} \cdot \frac{1}{ \sqrt{1- x^{2} }} \cdot \left( -2x\right)}\)

[Viris]

dlaczego usunąłeś mój post? Chcę się dowiedzieć tylko skąd się wzięło \(\displaystyle{ \frac{1}{1- x^{2}+1 }}\) i \(\displaystyle{ (-2x)}\)

[MichalPWr]

W notce umieściłem powód usunięcia posta. A co do pytania. Ponieważ jest to pochodna funkcji złożonej.

[Viris]

ok a możesz bardziej szczegółowo to napisać, bo to jak wyżej policzyłeś jest w najbardziej skróconej wersji

-- 3 gru 2012, o 15:13 --

\(\displaystyle{ \arctan ^{2} \sqrt{1-x ^{2} }=(\arctan ^{2})' \cdot \sqrt{1-x ^{2} }+\arctan ^{2} \cdot ( \sqrt{1-x ^{2} } )'= 2 \arctan \cdot \sqrt{1-x ^{2} }+ \arctan ^{2} \cdot \frac{1}{2 \sqrt{1-x ^{2} } } \cdot (1-x ^{2} )'=2 \arctan \sqrt{1-x ^{2} } + \frac{1}{1+ \frac{1}{1-x ^{2} } } \cdot (-2x)}\)

Powiedzcie gdzie robię błąd bo:
a) ja zamiast możenia mam "+"
b) w ogóle nie wiem skąd się bierze w rozwiązaniu \(\displaystyle{ \frac{1}{1- x^{2}+1 }}\)

Bardzo proszę poprawcie w osobnym poście to co robię źle, najlepiej na czerwono

[Dasio11]

Błąd polega na tym, że \(\displaystyle{ \arctan}\) to funkcja, a nie czynnik. Czyli

\(\displaystyle{ \arctg \sqrt{1-x^2} = \arctg \left( \sqrt{1-x^2} \right)}\)

oznacza wartość tej funkcji w punkcie \(\displaystyle{ \sqrt{1-x^2},}\) a nie iloczyn

\(\displaystyle{ \arctg \cdot \sqrt{1-x^2}.}\)

Stosuje się więc wzór na pochodną złożenia funkcji, a nie iloczynu.

[Viris]

ok, a możesz (lub ktoś inny) skopiować i poprawić to co pisałem post wyżej tak żeby było ok? Bo zgodnie z tym co rozumiem, stosując wzór \(\displaystyle{ [f(y)]'=f' \cdot y'}\) również robię gdzieś błąd

\(\displaystyle{ \arctan ^{2} \sqrt{1-x ^{2} }=(\arctan ^{2} )' \cdot ( \sqrt{1-x ^{2} } )'= 2\arctan \cdot \frac{1}{2 \sqrt{1-x ^{2} } } \cdot (1-x ^{2} )' = 2\arctan \cdot \frac{1}{2 \sqrt{1-x ^{2} } } \cdot (-2x)}\)

Więc co tym razem źle? Szybciej będzie tak jak mówię - jeśli poprawi ktoś to co wyżej napisałem, najlepiej na czerwono bo matma wbrew pozorom nie sprawia mi łatwości i nie za bardzo rozumiem np. "Błąd polega na tym, że to funkcja, a nie czynnik", dopiero jak zobaczę jak "się to je" zaczynam rozumieć.

[Dasio11]

Szybciej będzie tak jak mówię - jeśli poprawi ktoś to co wyżej napisałem, najlepiej na czerwono

Tak się nie da, bo źle robisz całość, a nie poszczególne części.
Wzory wyglądają inaczej. Popatrz na taki przykład:

\(\displaystyle{ \left( \ln^3 x \right)' = \left( \cdot ^3 \right)'(\ln x) \cdot (\ln x )' = (3 \cdot^2) (\ln x) \cdot \frac{1}{x} = 3 \ln^2 x \cdot \frac{1}{x}.}\)

U ciebie podobnie:

\(\displaystyle{ \left( \arctg^2 \sqrt{1-x^2} \right)' =2 \arctg \sqrt{1-x^2} \cdot \left( \arctg \sqrt{1-x^2} \right)' = \ldots}\)

Mi jest to najłatwiej zrozumieć, gdy patrzę na wyprowadzenie (napisane z grubsza):

Niech \(\displaystyle{ y_0=f(x_0).}\) Weźmy dowolny ciąg \(\displaystyle{ x_n}\) zbieżny do \(\displaystyle{ x_0}\) i oznaczmy \(\displaystyle{ y_n = f(x_n).}\) Liczymy pochodną funkcji \(\displaystyle{ g \circ f}\) w punkcie \(\displaystyle{ x_0}\) :


\(\displaystyle{ ( g \circ f )' \left(x_0 \right) = \lim_{n \to \infty} \frac{g(f(x_n)) - g(f(x_0))}{x_n - x_0} = \lim_{n \to \infty} \frac{g(f(x_n)) - g(f(x_0))}{f(x_n) - f(x_0)} \cdot \frac{f(x_n) - f(x_0)}{x_n - x_0} = \ldots.}\)

Wyrażenie \(\displaystyle{ \frac{g(f(x_n)) - g(f(x_0))}{f(x_n) - f(x_0)}}\) dąży do pochodnej funkcji \(\displaystyle{ g}\) w punkcie \(\displaystyle{ y_0,}\) bo \(\displaystyle{ f(x_n)}\) jest ciągiem zbieżnym do \(\displaystyle{ y_0.}\)

Czyli na przykładzie:

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \frac{( \ln x_n )^3 - (\ln x_0)^3}{x_n - x_0} = \lim_{n \to \infty} \frac{ (\ln x_n)^3 - ( \ln x_0 )^3}{\ln x_n - \ln x_0} \cdot \frac{\ln x_n - \ln x_0}{x_n - x_0} \\ \\
= \lim_{n \to \infty} \frac{y_n^3 - y_0^3}{y_n - y_0} \cdot \frac{\ln x_n - \ln x_0}{x_n - x_0} = 3 y_0^2 \cdot \frac{1}{x_0} = \frac{3 \ln^2 x_0}{x_0}.}\)

Fizycy mogliby napisać: \(\displaystyle{ \frac{\mathrm d (\ln x)^3}{\mathrm dx} = \frac{\mathrm d (\ln x)^3}{\mathrm d \ln x} \cdot \frac{\mathrm d \ln x}{\mathrm dx} = 3 \ln^2 x \cdot \frac{1}{x}.}\)

To chyba kres moich możliwości jeśli chodzi o próby przyjaznego opisu, czemu ten wzór ma taką postać.

[Viris]

ok jakoś to sobie poukładałem w głowie. Mam jeszcze jedno, ostatnie chyba pytanie
korzystam ze wzoru \(\displaystyle{ (a^{x})'=a^{x}\ln a}\)

zadanie wygląda następująco:
\(\displaystyle{ 2 ^{1-x ^{2} }}\)

więc wg mnie po podstawieniu powinno to wyglądać tak:
\(\displaystyle{ 2 ^{1-x ^{2} } \ln 2}\)

a w odpowiedziach jest

\(\displaystyle{ 2 ^{1-x ^{2} } \ln ^{2} (-2x)}\)

Więc co robię źle?

[Dasio11]

\(\displaystyle{ \left( 2^{1-x^2} \right)' = 2^{1-x^2} \cdot \ln 2 \cdot \left(1-x^2 \right)' = 2^{1-x^2} \cdot (-2x) \ln 2.}\)