Równania Wielomianowe

ModyBazyl · Post autor: **ModyBazyl** » 2 gru 2012, o 00:13

Witam mam problem z pewnym zadaniem , próbowałem je rozwiązać na różne sposoby lecz czegoś nie widzę lub nie umiem dobrze rozwinąć tj. to zadanie :

\(\displaystyle{ a) \frac{ \frac{ x^{3} + x^{2} - 25x - 25 }{ x^{2} + 6x +5 } + x(x+3) }{x + 5}}\)

wyszło mi że :
\(\displaystyle{ x^{3} + x^{2} - 25x - 25=(x - 1)(x+5)(x+5)}\)
_________________________________________________________
\(\displaystyle{ x^{2} + 6x +5=(x-1)(x+5)}\)

i po skracaniu dalej nie wychodzi , mógłby kto poprawić mnie ? lub ukazać jak to zrobić ?

777Lolek · Post autor: **777Lolek** » 2 gru 2012, o 00:28

\(\displaystyle{ \frac{ \frac{ x^{3} + x^{2} - 25x - 25 }{ x^{2} + 6x +5 } + x(x+3) }{x + 5} = \frac{x^2(x+1) - 25(x+1) + x(x+3)(x^2 + 6x + 5)}{(x+5)(x^2 + 6x + 5)} = \ \hbox{ po dalszych przekształceniach } \ = x+1}\)
przy czym te przekształcenia to zapisanie w liczniku:
pierwszych dwóch wyrażeń w postaci iloczynowej trzech wielomianów pierwszego stopnia,
drugiego wyrażenia w postaci iloczynowej czterech wielomianów pierwszego stopnia,
w mianowniku zapisanie wyrażenia w postaci iloczynowej trzech wielomianów pierwszego stopnia.
Wszystko się skróci., w liczniku dostaniesz trójmian kwadratowy a w mianowniku wielomian pierwszego stopnia, które też dać się będzie skrócić.

mmoonniiaa · Post autor: **mmoonniiaa** » 2 gru 2012, o 00:31

777Lolek, raczej ostatecznym wynikiem jest \(\displaystyle{ x-1}\)

Kanodelo · Post autor: **Kanodelo** » 2 gru 2012, o 00:31

\(\displaystyle{ x^3+x^2-25x-25=x^2(x+1)-25(x+1)=(x^2-25)(x+1)=(x-5)(x+5)(x+1) \\
x^2+6x+5=(x+1)(x+5)}\)

czyli po skróceniu:
\(\displaystyle{ \frac{x-5+x(x+3)}{x+5}= \frac{x^2+3x+x-5}{x+5}= \frac{(x-1)(x+5)}{x+5}=x-1}\)

ModyBazyl · Post autor: **ModyBazyl** » 2 gru 2012, o 00:49

hhmm jeżeli już taka forma to tu chyba troszkę cięższy przykład :

\(\displaystyle{ \frac{ \frac{x ^{3} - 4x ^{2}-17+60 }{x ^{2} + x -12 } \cdot (x-2) + 7x -59 }{4x-28}}\)

mmoonniiaa · Post autor: **mmoonniiaa** » 2 gru 2012, o 01:01

Zgubiłeś pewnie iksa w jednym miejscu. Zacznij od tego ułamka:
\(\displaystyle{ \frac{x ^{3} - 4x ^{2}-17 \red x \black +60 }{x ^{2} + x -12}=\frac{\left( x+4\right)\left( x-3\right)\left( x-5\right) }{\left( x+4\right) \left( x-3\right) }}\)

ModyBazyl · Post autor: **ModyBazyl** » 2 gru 2012, o 01:15

moniu mogłabyś mi wytłumaczyć jakim sposobem obliczyłaś to : \(\displaystyle{ \frac{x ^{3} - 4x^{2}-17x +60}}\) bo tym sposobem nie daję rady

mmoonniiaa · Post autor: **mmoonniiaa** » 2 gru 2012, o 01:19

Najpierw zapisujesz mianownik w postaci iloczynowej, sprawdzasz, czy np. \(\displaystyle{ x=3}\) jest pierwiastkiem wielomianu w liczniku - jest więc albo dzielisz ten wielomian przez dwumian \(\displaystyle{ x-3}\) albo stosujesz schemat Hornera.

777Lolek · Post autor: **777Lolek** » 2 gru 2012, o 12:45

mmoonniiaa pisze:777Lolek, raczej ostatecznym wynikiem jest \(\displaystyle{ x-1}\)

masz rację. moje małe pismo i już mam problemy;o ehh starzeję się...

ModyBazyl, polecam schemat Hornera;o , a w nim metoda zgadywania pierwiastków jest wg mnie dość skuteczna.

ModyBazyl · Post autor: **ModyBazyl** » 2 gru 2012, o 15:19

\(\displaystyle{ \frac{x ^{3} - 4x ^{2}-17 \red x \black +60 }{x ^{2} + x -12}}\)
ale nie wiem jak to ogarnąć gdy do podzielenia jest więcej niż \(\displaystyle{ x-}\)(jakas cyfra)
są podane tylko łatwe przykłady a jak by to miało wyglądać gdyby : \(\displaystyle{ (x ^{3} - 4x ^{2}-17 \red x \black +60) : (x ^{2} + x -12)}\)

Post autor: **loitzl9006** » 2 gru 2012, o 15:32

Ogólnie schemat Hornera nadaje się tylko do dzielenia przez dwumiany postaci \(\displaystyle{ x-}\)(jakaś liczba).

Jak chcesz dokonać dzielenia przez \(\displaystyle{ x^2+x-12}\), to skorzystaj z tego, że \(\displaystyle{ x^2+x-12=(x-3)(x+4)}\) i najpierw podziel Hornerem \(\displaystyle{ x ^{3} - 4x ^{2}-17x +60}\) przez \(\displaystyle{ x-3}\), a potem otrzymany wynik przez \(\displaystyle{ x+4}\).

Ale może się zdarzyć, że wielomian w liczniku będzie niepodzielny ani przez \(\displaystyle{ x-3}\), ani przez \(\displaystyle{ x+4}\)... W takich przypadkach Horner odpada - zostaje jedynie dzielenie pisemne.

ModyBazyl · Post autor: **ModyBazyl** » 2 gru 2012, o 16:07

pozostaje jeszcze \(\displaystyle{ 4}\) przykład tego typu zadań którego też nie umiem rozgryźć :

\(\displaystyle{ c) \frac{ \frac{x ^{3}+8x ^{2} +x -42 }{x ^{2} +x -6 }+ \frac{x ^{3}+8x ^{2} +x -42}{x ^{2} + 5x -14 } }{x +5}}\)

wyszło mi że to ;
\(\displaystyle{ x ^{3}+8x ^{2} +x -42:x ^{2} +x -6 = \frac{(x ^{2} +10x +20)(x-2)-2 }{(x-2)(x+3)}}\)
a to :
\(\displaystyle{ x ^{3}+8x ^{2} +x -42:x ^{2} + 5x -14 = \frac{(x ^{2} +10x +20)(x-2)-2 }{(x-2)(x+7)}}\)

i nie wiem co jak po co .

mmoonniiaa · Post autor: **mmoonniiaa** » 2 gru 2012, o 16:14

Najpierw podziel schematem Hornera wielomian \(\displaystyle{ x ^{3}+8x ^{2} +x -42}\) przez dwumian \(\displaystyle{ x-2}\).

ModyBazyl · Post autor: **ModyBazyl** » 2 gru 2012, o 16:15

moniu to juz zrobiłem wyżej już dałem wyszło to : \(\displaystyle{ \frac{(x ^{2} +10x +20)(x-2)-2 }}\)

mmoonniiaa · Post autor: **mmoonniiaa** » 2 gru 2012, o 16:18

To coś źle wyszło, bo powinieneś otrzymać:
\(\displaystyle{ \left( x ^{3}+8x ^{2} +x -42\right):\left( x-2\right) =\red x^2+10x+21}\)