Wartość oczekiwana wektora losowego

[Drzewo18]

Funkcja gęstości wektora losowego jest postaci \(\displaystyle{ f(x,y)=2}\) gdy \(\displaystyle{ x\in(0,1), \ \frac{x}{3}\le y\le \frac{1}{3}(2x+1)}\). Mam wyznaczyć prostą regresji Y względem X, ale chodzi mi tylko o to, jak wyznaczyć \(\displaystyle{ E(Y)}\). Bo ja liczę taką całkę:
\(\displaystyle{ E(Y)=\int y f_Y(y) dy= \int_{\frac{x}{3}}^{\frac{1}{3}(2x+1)} 2y dy}\)
ale wtedy wychodzi mi wartość oczekiwana zależna od x, a chyba tak nie powinno wyjść.
\(\displaystyle{ f_Y(y)}\) wyznaczyłem licząc całkę \(\displaystyle{ \int_0^1 2 dx}\).

[lukaszm89]

Bo przy ustalonym y(a tak liczy się gęstość brzegową) x nie zmienia się od 0 do 1.
Najlepiej narysuj sobie zbiór, na którym ta gęstość jest niezerowa i spójrz na niego "z perspektywy y".

[Drzewo18]

Czyli że powinienem zamienić kolejność całkowania? Bo jak patrzę z perspektywy Y to wychodzi, że:
\(\displaystyle{ D_1= \begin{cases} 0<y<\frac{1}{3} \\ 0<x<3y\end{cases} \\ D_2= \begin{cases} \frac{1}{3}<y<1 \\ \frac{3y-1}{2}<x<1 \end{cases}}\)
I muszę obliczyć \(\displaystyle{ f_Y(y)}\) w ten sposób:
\(\displaystyle{ \int_0^{3y} 2dx+\int_{ \frac{3y-1}{2}}^1 2 dx}\)
i potem wartość oczekiwaną od 0 do 1?

[lukaszm89]

Prawie. Liczysz to tak, że ustalasz y, więc(jeśli się nie pomyliłeś w wyznaczaniu obszaru)
\(\displaystyle{ f_Y(y)=\int_0^{3y} 2dx,\quad gdy\ y<\frac{1}{3}\\
f_Y(y)=\int_{ \frac{3y-1}{2}}^1 2 dx,\quad gdy\ \frac{1}{3}\leq y<1}\)