Pierścienie, elementy odwracalne

[Kasik22]

Witam, mam problem z zadaniem. Zadanie brzmi następując:
"Podaj liczbę elementów odwracalnych w pierścieniu 720"
I nie wiem jak je zacząć rozwiązywać. Proszę o pomoc i wskazówki jak dojść do poprawnej odpowiedzi, z góry dziękuje.

[Spektralny]

I nie wiem jak je zacząć rozwiązywać. Proszę o pomoc i wskazówki jak dojść do poprawnej odpowiedzi, z góry dziękuje.

Trudno żebyś wiedziała, skoro nie ma czegoś takiego w matematyce jak pierścień 720. Spróbuj to rozwiązać dla pierścienia \(\displaystyle{ \mathbb{Z}_{20}}\) w takim razie.

[Kasik22]

W \(\displaystyle{ Z_{20}}\) będę miała \(\displaystyle{ 7}\) bo \(\displaystyle{ 7 \cdot 3=1}\) ale jak mam to przenieś na wcześniejszy przykład?
Ciężko mi będzie wszystkie elementy z \(\displaystyle{ Z_{720}}\) rozpisać na kartce papieru jak w \(\displaystyle{ Z_{20}}\) i dojść do wyniku równego \(\displaystyle{ 768}\), chodzi mi o jakiś krótszy i prawidłowy sposób by to wyznaczyć

[TinTin]

W pierścieniach \(\displaystyle{ \mathbb{Z}_n}\) liczba elementów odwracalnych jest równa liczbie elementów tego pierścienia względnie pierwszych z \(\displaystyle{ n}\) (trudno mi powiedzieć jak to uzasadnić, ale tak jest ; będę wdzięczny jak ktoś poda tu proste uzasadnienie tego faktu), tzn. wszystkie elementy odwracalne są względnie pierwsze z \(\displaystyle{ n}\).

Dwie liczby są względnie pierwsze wtedy, gdy ich największym wspólnym dzielnikiem jest \(\displaystyle{ 1}\).

Dla pierścienia \(\displaystyle{ \mathbb{Z}_{20}}\) można łatwo i stosunkowo szybko wypisać wszystkie takie elementy. Będą to: \(\displaystyle{ 1, 3, 7, 9, 11, 13, 17, 19}\). Jest ich \(\displaystyle{ 8}\).

Dla pierścienia \(\displaystyle{ \mathbb{Z}_{720}}\) trudno to zrobić, sprawdzając wszystkie elementy po kolei. Z pomocą przychodzi nam funkcja \(\displaystyle{ \varphi}\) Eulera (odsyłam do Wikipedii). Funkcja ta pozwala na obliczenie liczby liczb względnie pierwszych z daną liczbą mniejszych od niej, czyli dokładnie to, czego potrzebujemy.

Musimy rozłożyć \(\displaystyle{ 720}\) na czynniki pierwsze: \(\displaystyle{ 720=2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot3\cdot3\cdot5}\)

Bierzemy czynniki z tego rozkładu bez powtórzeń, czyli \(\displaystyle{ 2, 3, 5}\), i podstawiamy do wzoru na funkcję \(\displaystyle{ \varphi}\) Eulera:
\(\displaystyle{ \varphi(720)=720\left(1- \frac{1}{2} \right)\left(1- \frac{1}{3} \right)\left(1- \frac{1}{5} \right)=192}\)

Czyli liczba elementów odracalnych w \(\displaystyle{ \mathbb{Z}_{720}}\) jest równa \(\displaystyle{ 192}\).

Bardzo prawdopodobne jest, że istnieje prostszy sposób rozwiązania tego zadania. Jeśli ktoś ma jakieś sugestie, proszę o podzielenie się nimi.

[Kasik22]

Dziękuje za dokładne wytłumaczenie , przy czym, chciałabym cię TinTin przeprosić, że dopiero teraz piszę.
Co do mojego wcześniejszego zapisania dotyczącego elementów odwracalnych w \(\displaystyle{ \mathbb Z_{20}}\) że jest ich (niby) \(\displaystyle{ 768}\) to, to jest OGROMNA POMYŁKA z mojej strony, spowodowana tym że pomylił \(\displaystyle{ \mathbb Z_{20}}\) z \(\displaystyle{ \mathbb Z_{2880}}\), gdzie to w \(\displaystyle{ \mathbb Z_{2880}}\) jest \(\displaystyle{ 768}\) elementów odwracalnych, za co, jeszcze raz przepraszam.
Natomiast jeśli chodzi o sposób znajdywania tych elementów, to zgadzam się z tobą, że najszybszy jest za pomocą funkcji Eulera
Pozdrawiam i ponownie dziękuje:)