[Analiza ]Minimum z tw. Cauchego-Schwarza

[bryk]

Znaleźć najmniejszą wartość wyrażenia \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}a_k^2+\left (\sum_{k=1}^{n}a_k \right )^2}\), przy warunku\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}p_ka_k=1}\)

Ukryta treść:    

W rozwiązaniu :
\(\displaystyle{ 1=\sum_{k=1}^{n}(p_k- \alpha )a_k + \alpha \sum_{k=1}^{n}a_k}\)

Zatem:

\(\displaystyle{ \left ( \left ( \sum_{k=1}^{n}(p_k- \alpha )^2 \right ) + \alpha ^2 \right )
\left ( \sum_{k=1}^{n}a_k^2 + \left ( \sum_{k=1}^{n}a_k \right )^2 \right ) \geq 1}\)

No właśnie jakim sposobem można te wyrażenie przekształcić w coś takiego? Mi wychodzi w ten sposób: \(\displaystyle{ 1 \le\left( \sum_{k=1}^{n}(p_k- \alpha )^2 + \alpha ^2 \right )
\right) \sum_{k=1}^{n}a_k^2 +2 \alpha \sum_{k=1}^{n} (p_k- \alpha )a_k\sum_{k=1}^{n}a_k}\)Ostatnie wyrażenie mogę zapisać jako \(\displaystyle{ 2 \alpha \sum_{k=1}^{n}a_k\left( 1-\sum_{k=1}^{n}a_k\right)}\) i dalej nie mam pomysłu.