Relacje : Para uporzadkowana i iloczyn kartezjanski

[rzexnik]

Witam forumowiczów
Czy mógłby mi ktoś wytłumaczyć od 0 jak się wziąść i rozwiązać te oto zadanie?

Udowodnij, ze dla dowolnych zbiorów \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) równość \(\displaystyle{ A \times B = B \times A}\) zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ A=\emptyset}\) lub \(\displaystyle{ B = \emptyset}\) lub \(\displaystyle{ A = B.}\)

Bardzo proszę o pomoc.
Pozdrawiam

[zaklopotany93]

\(\displaystyle{ "\implies"}\)

Przypuśćmy, że \(\displaystyle{ A \times B=B \times A}\) oraz \(\displaystyle{ A \neq \emptyset \wedge B \neq \emptyset \wedge A \neq B}\). Zbiory \(\displaystyle{ A \times B}\) oraz \(\displaystyle{ B \times A}\) byłyby niepuste, dla każdego \(\displaystyle{ t}\), mielibyśmy \(\displaystyle{ t \in A \times B \iff t \in B \times A}\). Ustalmy takie \(\displaystyle{ t}\). Ponieważ \(\displaystyle{ t \in A \times B}\), więc \(\displaystyle{ \exists_{a \in A}\exists_{b \in B} \ t=\left\langle a,b\right\rangle}\). Ponieważ \(\displaystyle{ t \in B \times A}\), więc \(\displaystyle{ \exists_{b \in B}\exists_{a \in A} \ t=\left\langle b,a\right\rangle}\). Z twierdzenia o równości par uporządkowanych mamy \(\displaystyle{ t=t=\left\langle a,b\right\rangle=\left\langle b,a\right\rangle \iff (a=b \wedge b=a)}\). Ale na mocy \(\displaystyle{ A \neq \emptyset \wedge B \neq \emptyset \wedge A \neq B}\) istnieje bądź takie \(\displaystyle{ a'}\) w zbiorze \(\displaystyle{ A}\), że dla każdego \(\displaystyle{ b \in B}\) zachodzi \(\displaystyle{ a' \neq b}\) bądź istnieje w zbiorze \(\displaystyle{ B}\) taki element \(\displaystyle{ b'}\), że przy wszelkim \(\displaystyle{ a \in A}\) zachodzi \(\displaystyle{ b' \neq a}\). Wynika stąd, że istnieje takie \(\displaystyle{ t'}\), że \(\displaystyle{ t' \in A \times B}\), ale \(\displaystyle{ t' \notin B \times A}\) bądź \(\displaystyle{ t' \in B \times A}\) ale \(\displaystyle{ t' \notin A \times B}\), co przeczy temu, że \(\displaystyle{ A \times B=B \times A}\).

[Jan Kraszewski]

Dobrze, choć zawile.

Po pierwsze, prościej było zrezygnować z tego \(\displaystyle{ t}\) i od razu rozważać \(\displaystyle{ \left\langle a,b\right\rangle\in A\times B}\).

Po drugie, prościej byłoby zacząć od ustalenia \(\displaystyle{ x}\), którym różnią się zbiory \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\). Bez zmniejszenia ogólności możemy założyć, że \(\displaystyle{ x\in A \setminus B}\), dobieramy mu do pary \(\displaystyle{ y\in B}\) (możemy, bo \(\displaystyle{ B\neq\emptyset}\)) i od razu dostajemy, że \(\displaystyle{ \left\langle x,y\right\rangle\in A \times B}\), ale \(\displaystyle{ \left\langle x,y\right\rangle\notin B \times A}\).

JK

[Matys015]

A czy można samo \(\displaystyle{ A \times B = B \times A}\) rozpisać tak, że weźmiemy sobie osobno 2 strony a później korzystając z tego że sobie strony są równe coś wywnioskować:

\(\displaystyle{ \left\langle a,b\right\rangle\in A \times B \\
\left\langle a,b\right\rangle\in B \times A \\
a \in A \wedge b \in B \\
a \in B \wedge b \in A \\
a \in A \Rightarrow a \in B \Leftrightarrow A \subseteq B \\
b \in B \Rightarrow b \in A \Leftrightarrow B \subseteq A}\)

A z tego wiemy, że \(\displaystyle{ A = B}\) i rozpatrzeć osobny przypadek jeśli któryś zbiór jest pusty. Dobre rozumowanie??

[rzexnik]

@Matys015 Z rozpatrzeniem dam już sobie radę ; )
Dzikuję wszystkim za pomoc

[Jan Kraszewski]

A czy można samo \(\displaystyle{ A \times B = B \times A}\) rozpisać tak, że weźmiemy sobie osobno 2 strony a później korzystając z tego że sobie strony są równe coś wywnioskować:

\(\displaystyle{ \left\langle a,b\right\rangle\in A \times B \\
\left\langle a,b\right\rangle\in B \times A \\
a \in A \wedge b \in B \\
a \in B \wedge b \in A \\
a \in A \Rightarrow a \in B \Leftrightarrow A \subseteq B \\
b \in B \Rightarrow b \in A \Leftrightarrow B \subseteq A}\)

Ale jak wywnioskować? Napisałeś dużo znaczków bez żadnego komentarza. Nie wiadomo, co zakładasz, co wnioskujesz i jaka jest struktura dowodu. Ja czegoś takiego (w tej wersji) nie kupuję.

Np. co to jest \(\displaystyle{ a \in A \Rightarrow a \in B \Leftrightarrow A \subseteq B\ ?}\) Tak, jak napisałeś, to nie jest prawda.

JK