Dwa zadania z teorii grup

[Django]

1) Możliwie jak najprościej wykaż, że jeśli rząd grupy \(\displaystyle{ G}\) jest parzysty, to istnieje element \(\displaystyle{ a \in G}\), taki że \(\displaystyle{ a^2 = e}\)
2) Wskazać generator grupy \(\displaystyle{ (Z, *)}\), gdzie działanie \(\displaystyle{ *}\) określone jest wzorem \(\displaystyle{ a * b = a + b - 5}\)

[brzoskwinka1]

1) Wniosek z Twierdzenia Cauchy'ego

-- 26 lis 2012, o 16:00 --

2) 6

[Zordon]

1) Twierdzenie Cauchy'ego nie jest sposobem "możliwie prostym".
Po pierwsze należy poprawić treść, że chodzi o element \(\displaystyle{ a\neq e}\) o tej własności. Czyli element o rzędzie \(\displaystyle{ 2}\). Innymi słowy, szukamy elementu \(\displaystyle{ a\neq e}\) spełniającego \(\displaystyle{ a^{-1}=a}\). Rozważmy zatem odwzorowanie \(\displaystyle{ F:G\to G}\) zadane przez \(\displaystyle{ F(g)=g^{-1}}\). Jako funkcja jest to bijekcja, spełniająca \(\displaystyle{ F\circ F=id}\). Takie bijekcje na zbiorze skończonym mają tę miłą własność, że \(\displaystyle{ F}\) posiada parzyście wiele punktów stałych (udowodnij to). Ponadto \(\displaystyle{ F(e)=e}\).

[brzoskwinka1]

Jako funkcja jest to bijekcja, spełniająca \(\displaystyle{ F\circ F=id}\). Takie bijekcje na zbiorze skończonym mają tę miłą własność, że \(\displaystyle{ F}\) posiada parzyście wiele punktów stałych (udowodnij to). Ponadto \(\displaystyle{ F(e)=e}\).

Funkcja \(\displaystyle{ F:\{-2,-3,-1,0, 1,2,3\} \rightarrow \{-2,-3,-1,0, 1,2,3\}}\), \(\displaystyle{ F(\xi ) =-\xi}\) ma własność \(\displaystyle{ F\circ F =\mbox{id }}\) ale tylko jeden punkt stały.

[Zordon]

Jako funkcja jest to bijekcja, spełniająca \(\displaystyle{ F\circ F=id}\). Takie bijekcje na zbiorze skończonym mają tę miłą własność, że \(\displaystyle{ F}\) posiada parzyście wiele punktów stałych (udowodnij to). Ponadto \(\displaystyle{ F(e)=e}\).

Funkcja \(\displaystyle{ F:\{-2,-3,-1,0, 1,2,3\} \rightarrow \{-2,-3,-1,0, 1,2,3\}}\), \(\displaystyle{ F(\xi ) =-\xi}\) ma własność \(\displaystyle{ F\circ F =\mbox{id }}\) ale tylko jeden punkt stały.

Nie rozumiem stąd w Tobie taka chęć wyłapywania literówek czy niedomówień i komentowanie ich w taki sposób. Za pierwszym, drugim,... dziesiątym razem taki post jest może nawet zabawny, ale ileż można?

[brzoskwinka1]

Jako funkcja jest to bijekcja, spełniająca \(\displaystyle{ F\circ F=id}\). Takie bijekcje na zbiorze skończonym mają tę miłą własność, że \(\displaystyle{ F}\) posiada parzyście wiele punktów stałych (udowodnij to). Ponadto \(\displaystyle{ F(e)=e}\).

Funkcja \(\displaystyle{ F:\{-2,-3,-1,0, 1,2,3\} \rightarrow \{-2,-3,-1,0, 1,2,3\}}\), \(\displaystyle{ F(\xi ) =-\xi}\) ma własność \(\displaystyle{ F\circ F =\mbox{id }}\) ale tylko jeden punkt stały.

Nie rozumiem stąd w Tobie taka chęć wyłapywania literówek czy niedomówień i komentowanie ich w taki sposób. Za pierwszym, drugim,... dziesiątym razem taki post jest może nawet zabawny, ale ileż można?

To ja teraz nie rozumiem o co Ci chodzi? Czyżbyś uważał się za nieomylnego?

[Zordon]

Wprost przeciwnie, zdarza mi się często mylić, ale wtedy nie oczekuję otrzymania złośliwego kontrprzykładu na moje błędne stwierdzenie. Wolałbym, żeby wskazać niedomówienie: "zakładając, że dziedzina jest zbiorem skończonym, o parzystej liczbie elementów".

[brzoskwinka1]

Nie zrobiłam tego złośliwie.

[Zordon]

Zatem przykro mi, że to tak odebrałem.