[Rozgrzewka OM][MIX] Łańcuszek olimpijski

[Ponewor]

Stąd: wziąłeś oba zadanka?
Zepsuję komuś zabawę może, bo wrzucę gotowca do pierwszego.
- zgodnie z przedstawioną w pierwszym linku metodą.
Ale tu też jest kozackie (bo odważne) rozwiązanie: [url]http://archom.ptm.org.pl/?q=node/930[/url]

I jestem taki zły na zadanie drugie. Jakiś miesiąc temu je zrobiłem w jakieś 5 minut i rzeczywiście było mega łatwe, a teraz za nic w świecie nie potrafię odtworzyć rozwiązania.

[porfirion]

bonusik jest łatwy

Suma dzielników \(\displaystyle{ n}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ 24}\) jeśli jest podzielna przez \(\displaystyle{ 8}\) i przez \(\displaystyle{ 3}\). Wiemy też, że \(\displaystyle{ n}\) przystaje do \(\displaystyle{ 7}\) mod \(\displaystyle{ 8}\) i do \(\displaystyle{ 3}\) mod \(\displaystyle{ 4}\). Dla każdego dzielnika \(\displaystyle{ k}\) przypada różny od \(\displaystyle{ k}\) (\(\displaystyle{ n}\) nie może być kwadratem) dzielnik \(\displaystyle{ \frac{n}{k}}\). Łatwo sprawdzić, że suma \(\displaystyle{ k+ \frac{n}{k}}\) dzieli się przez \(\displaystyle{ 8}\) i \(\displaystyle{ 3}\).

[Ponewor]

dobra. Dawaj zadanko.

[chomikchomik]

Ponewor:
Tak, te zadania są z jakiejś starej delty. Ale nie rób tak następnym razem, bo to jakoś specjalnie nie mobilizuje do myślenia.

[Ponewor]

Planowałem dać gotowca do pierwszego i zamieścić rozwiązanie do bonusu, wtedy by to trochę lepiej wyglądało. Jednak jak już pisałem zapomniałem swojego rozwiązania do drugiego. I BTW czy gdybym wrzucił swoje własne rozwiązanie pierwszego, to bym jakoś bardziej mobilizował do myślenia? Zresztą wrzucanie gotowców już się w tym temacie i podobnych nie raz nie dwa pojawiało i jakoś nikt się nie czepiał. Patrz chociaż na post timona92 na tej samej stronie w tym temacie.
porfirion zarzucaj zadankiem.

[porfirion]

Ok, nowe:
Okrag podzielony jest na \(\displaystyle{ 3k}\) łuków tak, że jest po \(\displaystyle{ k}\) łuków o długosciach \(\displaystyle{ 1}\), \(\displaystyle{ 2}\) i \(\displaystyle{ 3}\).
Udowodnij, że istnieją dwa punkty wyznaczające średnice.

[chomikchomik]

ok, następnym razem postaram się dać coś bardziej oryginalnego.

[Ponewor]

porfirione czy pisząc o punktach masz na myśli punkty dzielące okrąg na łuki, czy dowolne punkty na okręgu?

[chomikchomik]

jakie dwa punkty? bo jeśli okrąg istnieje, to takie punkty istnieją, ale chyba nie o to chodzi?

[porfirion]

no zgadnij. bez przesady...
oczywiście, że chodzi o te które wyznaczają łuki.

[Panda]

Ukryta treść:    

Załóżmy, że nie zachodzi.
Naprzeciwko łuku długości \(\displaystyle{ 1}\) leży łuk długości \(\displaystyle{ 3}\).
Weźmy którąś z tych par i pozostałe dwie połówki oznaczmy \(\displaystyle{ l_{1}}\),\(\displaystyle{ l_{2}}\).
Na \(\displaystyle{ l_{1}}\) leży jakieś \(\displaystyle{ a}\) łuków długości \(\displaystyle{ 1}\), \(\displaystyle{ k-1-a}\) długości \(\displaystyle{ 3}\) i \(\displaystyle{ b}\) długości \(\displaystyle{ 2}\).
Na \(\displaystyle{ l_{2}}\) \(\displaystyle{ k-1-a}\) długości \(\displaystyle{ 1}\), a długości \(\displaystyle{ 3}\), \(\displaystyle{ k-b}\) długości \(\displaystyle{ 2}\).
Czyli \(\displaystyle{ k-1+2a + 2(k-b) = 3k-3-2a+2b = 3k-2}\), czyli m. in.
\(\displaystyle{ 2b-2a=1}\), co sprzeczne.

O wielomianach \(\displaystyle{ P,Q,R}\) wiemy:
- \(\displaystyle{ \forall_{x}: P(x)\le Q(x) \le R(x)}\)
- \(\displaystyle{ st(P),st(Q),st(R) \le 2n+1}\)
- \(\displaystyle{ \exists_{x_{1}<...<x_{n}}: \forall_{i}P(x_{i}) = R(x_{i})}\)
- \(\displaystyle{ \exists_{x_{0}}, \forall_{i}: x_{0} \neq x_{i}, P(x_{0})+R(x_{0})=2\cdot Q(x_{0})}\)
Pokaż, że \(\displaystyle{ \forall_{x} P(x)+R(x)=2\cdot Q(x)}\).-- 5 grudnia 2012, 16:37 --Dochodzą do mnie żale, że zadanie było 5 razy na forum i w ogóle jest strasznie znane itd (z czym się średnio zgadzam), więc jak ktoś tak uważa i chce dać inne/chce żebym dał inne, to niech rzuci link do solwa najpierw bo chciałbym zobaczyć:P

[chomikchomik]

Powiem tak - daj nowe zadanie. Jak najszybciej.

[humanistyczna dusza]

- \(\displaystyle{ \exists_{x_{1}<...<x_{n}}: \forall_{i}P(x_{i}) = R(x_{i})}\)
- \(\displaystyle{ \exists_{x_{0}}, \forall_{i}: x_{0} \neq x_{i}, P(x_{0})+R(x_{0})=2\cdot Q(x_{0})}\)

Wyjaśniłby ktoś te dwie linijki? W szczególności nie jestem pewien czym jest zmienna \(\displaystyle{ i}\).

[Ponewor]

Istnieje co najmniej \(\displaystyle{ n}\) różnych pierwiastków równania \(\displaystyle{ P\left(x \right) - R\left(x \right)=0}\)
Istnieje takie \(\displaystyle{ x_{0}}\), że \(\displaystyle{ P\left(x_{0}\right)+R\left(x_{0}\right)=2\cdot Q\left(x_{0}\right)}\) i \(\displaystyle{ P\left(x_{0} \right) \neq R\left(x_{0} \right)}\)

[humanistyczna dusza]

Dzięki, teraz wszystko jasne .-- 11 gru 2012, o 00:54 --Z pewnymi hintami od Pandy w końcu wymęczyłem:

Ukryta treść:    

Rozpatrzmy wielomiany \(\displaystyle{ A\left(x)\right = Q\left(x)\right - P\left(x)\right}\) oraz \(\displaystyle{ B\left(x)\right = R\left(x)\right - Q\left(x)\right}\). Teza zadania redukuje się teraz do wykazania, że \(\displaystyle{ A\left(x)\right = B\left(x)\right}\). Z treści wynika, że oba wielomiany mają co najmniej \(\displaystyle{ n}\) wspólnych miejsc zerowych i jeszcze co najmniej jedno przecięcie. Zauważmy, że \(\displaystyle{ A\left(x)\right \ge 0 \wedge B\left(x)\right \ge 0}\). Stąd wszystkie miejsca zerowe \(\displaystyle{ A\left(x)\right}\), \(\displaystyle{ B\left(x)\right}\) są pierwiastkami podwójnymi. Nie zachodzi \(\displaystyle{ st(A),st(B)=2n+1}\), bo ramiona tych wielomianów muszą być skierowane w górę. Stąd:
\(\displaystyle{ A(x) = a(x-x _{1}) ^{2}(x-x _{2}) ^{2}...(x-x _{n}) ^{2}, B(x) = b(x-x _{1}) ^{2}(x-x _{2}) ^{2}...(x-x _{n}) ^{2} \Rightarrow A(x)-B(x) = (a-b)(x-x _{1}) ^{2}(x-x _{2}) ^{2}...(x-x _{n}) ^{2}}\).
Z tego, że mamy co najmniej \(\displaystyle{ 2n+1}\) przecięć wynika \(\displaystyle{ a=b}\), skąd wynika teza.

Czas na coś ode mnie:
Trzycyfrowa liczba \(\displaystyle{ abc}\) jest liczbą pierwszą. Wykaż, że \(\displaystyle{ b^{2} - 4ac}\) nie może być pełnym kwadratem liczby naturalnej.