Z def sprawdzić czy istnieje pochodna w punkcie

[Puppycba]

\(\displaystyle{ f(x)=|x-\pi|^3\sin x}\)

\(\displaystyle{ x_{0}=\pi}\)

prosiłbym o sprawdzenie czy dobrą metodą to rozwiązuję i czy wynik jest poprawny:

pochodna istnieje jeżeli istnieje granica:
\(\displaystyle{ \lim_{ h\to0 } \frac{|x+h-\pi|^3\cdot\sin (x+h)-|x-\pi|^3\cdot\sin (x)}{h}}\)
podstawiam \(\displaystyle{ x=x_{0}}\)

\(\displaystyle{ \lim_{ h\to0 }\frac{|h|^3\cdot\sin (h+\pi)}{h}=\lim_{ h\to0 }\frac{-|h|^3\cdot\sin (h)}{h}}\)

teraz chyba musze sprawdzić granicę lewo i prawostronną,
\(\displaystyle{ \lim_{ h\to0+ }\frac{-|h|^3\cdot\sin (h)}{h}=\lim_{ h\to0+ }-h^2\sin (h)=0}\)
\(\displaystyle{ \lim_{ h\to0- }\frac{-|h|^3\cdot\sin (h)}{h}=\lim_{ h\to0- }-h^2\sin (h)=0}\)

wniosek: pochodna w \(\displaystyle{ x_{0}=\pi}\) istnieje.

Zgadza się?

[szw1710]

Nie trzeba granic jednostronnych. \(\displaystyle{ \frac{\sin h}{h}\to 0}\) i to z obu stron. A \(\displaystyle{ |h|\to 0}\) za darmo.

[Puppycba]

ok, dziękuję.
Mam jescze jeden przykład:

\(\displaystyle{ f(x)=\begin{cases} x^2 \ dla \ x\le 2\\2^x \ dla \ x>2\end{cases}}\)

\(\displaystyle{ x_{0}=2}\)

\(\displaystyle{ \lim_{h \to 0}\frac{(x_{0}+h)^2-x_{0}^2}{h}=\lim_{h \to 0}\frac{2x_{0}h+h^2}{h} = 4}\)

\(\displaystyle{ \lim_{h \to 0}\frac{(2^x\cdot 2^h)-2^x}{h}=2^x\lim_{h \to 0}\frac{2^h-1}{h}=2^x\cdot \log 2\neq 4}\)

i na tym koniec? pochodna nie istnieje?

[bartek118]

Nie trzeba granic jednostronnych. \(\displaystyle{ \frac{\sin h}{h}\to 0}\) i to z obu stron. A \(\displaystyle{ |h|\to 0}\) za darmo.

A nie przypadkiem \(\displaystyle{ \frac{\sin h}{h}\to 1}\)? ;d

[szw1710]

Nooo... Dzięki. Na szczęście konkluzja się nie zmienia.

[Puppycba]

Może ktoś sprawdzić drugi przykład?