Kategoria I, 7 lipca 2009, 09:19

Miejsce na dyskusje i ocenę zadań z I konkursu forumowego ;).
Liga
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 168
Rejestracja: 29 wrz 2006, o 18:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Forum Matematyka.pl

Kategoria I, 7 lipca 2009, 09:19

Post autor: Liga » 10 lip 2009, o 23:45

1.
Załóżmy nie wprost, że wśród danych 15 liczb całkowitych większych od 1 i mniejszych od 2009 wszystkie są liczbami złożonymi. Oznaczałoby to, że w rozkładzie na czynniki pierwsze każdej z tych liczb występują co najmniej dwa czynniki. Przy czym, jeżeli jeden czynnik pierwszy występuje w rozkładzie dowolnej liczby, to nie występuje w rozkładzie na czynniki pozostałych 14 liczb. Zapewnia nam to warunek o tym, że dane liczby są parami względnie pierwsze.
Skonstruujmy 15 liczb spełniających powyższe warunki oraz takich, żeby największa z nich była możliwie najmniejsza.
Zachodzi to wtedy, gdy nasze liczby będą kwadratami kolejnych 15 liczb pierwszych (2; 3; 5;...;43; 47). Dopuszczalne są inne potęgi wybranych liczb pierwszych niż potęga druga do tego stopnia, by nie przekraczała ona 2008 (47 musi występować pod kwadratem, gdyż jej potęga będzie największą z konstruowanych liczb). Konstrukcja w inny sposób będzie wymagała użycia większych liczb pierwszych, co bez względu na sposób konstuowania oczywiście zwiększy nam ostatecznie liczbę największą spośród naszych piętnastu, czyli nie otrzymamy układu, który konstruujemy.
Łatwo w tym momencie zauważyć, że w takiej sytuacji jednak największa liczba i tak przekracza 2008 (\(\displaystyle{ 47^2=2209>2008}\)), co jest sprzeczne z tym, że danych 15 liczb całkowitych jest mniejsze od 2009 i nie wprost dowodzi temu, że wśród nich jest przynajmniej jedna liczba pierwsza, c.n.d.

2.
Wprowadźmy oznaczenia punktów: D' - środek odcinka EB; F - punkt przecięcia się odcinka AE z odcinkiem CD.
Z tw. o odcinku łączącym środki boków w trójkcie mamy, że odcinki D'D i EA są równoległe. Z twierdzenia odwrotnego natomiast mamy, że punkt F jest środkiem odcinka CD.
Trójkąt ADF jest równoramienny, zatem |AF|=|DF|=|FC|, co daje, że trójkąt AFC również jest równoramienny.
\(\displaystyle{ | \sphericalangle AFD|=180^o-2| \sphericalangle FAD| \\
| \sphericalangle CFA|=180^o-180^o+2| \sphericalangle FAD|=2| \sphericalangle FAD| \\
| \sphericalangle FAC|=\frac{1}{2}(180^o-2| \sphericalangle FAD|)=90^o-| \sphericalangle FAD|\\
| \sphericalangle CAD|=90^o-| \sphericalangle FAD|+| \sphericalangle FAD|=90^o=| \sphericalangle BAC|}\)


Odp.: \(\displaystyle{ | \sphericalangle BAC|=90^o}\)

3.
\(\displaystyle{ a,\ b,\ c \in R_+ \cup \{0\}}\)

\(\displaystyle{ (a+b)(a+c)=a^2+ab+ac+bc=a(a+b+c)+bc \ge 2\sqrt{abc(a+b+c)}}\) - ostatnia nier. zachodzi na mocy nier. Cauchy'ego pomiędzy średnią arytmetyczną i geometryczną

Czyli otrzymujemy, że \(\displaystyle{ (a+b)(a+c) \ge 2\sqrt{abc(a+b+c)}}\), c.b.d.u.

4.
Weźmy 2000 dowolnych kolejnych liczb całkowitych: \(\displaystyle{ k-1000;\ k-999;\ k-998;...;\ k+998;\ k+999}\).
Ich suma: \(\displaystyle{ \frac{k-1000+k+999}{2} \cdot 2000=(2k-1) \cdot 1000=(2k-1) \cdot 2^3 \cdot 5^3}\)
Liczba \(\displaystyle{ (2k-1)}\) oczywiście nie jest podzielna przez 2, zatem nasza suma w rozkładzie na czynniki pierwsze ma nieparzystą liczbę "dwójek", co dowodzi, że nie jest ona kwadratem liczby całkowitej (w rozkładzie na czynniki pierwsze kwadratu liczby całkowitej każdy czynnik występuje parzystą liczbę razy). koniec dowodu

5.
\(\displaystyle{ \begin{cases} x^2=y^2 \\ (x-k)^2+y^2=1\end{cases}\\
\begin{cases} x^2=y^2 \\ 2x^2-2kx-1+k^2=0 \end{cases} \\
\begin{cases} y=x\ lub\ y=-x \\ 2x^2-2kx+k^2-1=0\ (*) \end{cases}}\)


warunek: równanie (*) musi mieć dwa różne rozwiązania rzeczywiste, przy czym jedno z nich \(\displaystyle{ x_1=0}\):
\(\displaystyle{ \begin{cases}k^2-1=0 \\ \Delta>0 \end{cases}\\
\begin{cases} k=-1\ lub\ k=1 \\ k^2<2 \end{cases} \\
k \in \{-1;\ 1\}}\)


Odp.: \(\displaystyle{ \underline{k \in \{-1;\ 1\}}}\)

Awatar użytkownika
Sylwek
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2707
Rejestracja: 21 maja 2007, o 14:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 154 razy
Pomógł: 648 razy

Kategoria I, 7 lipca 2009, 09:19

Post autor: Sylwek » 11 lip 2009, o 02:28

Oceny:

Zadanie 1 - 5
Zadanie 2 - 6
Zadanie 3 - 6
Zadanie 4 - 6
Zadanie 5 - 6

--

Komentarze:

Zadanie 1:
Zachodzi to wtedy, gdy nasze liczby będą kwadratami kolejnych 15 liczb pierwszych (2; 3; 5;...;43; 47). Dopuszczalne są inne potęgi wybranych liczb pierwszych niż potęga druga do tego stopnia, by nie przekraczała ona 2008 (47 musi występować pod kwadratem, gdyż jej potęga będzie największą z konstruowanych liczb). Konstrukcja w inny sposób będzie wymagała użycia większych liczb pierwszych, co bez względu na sposób konstuowania oczywiście zwiększy nam ostatecznie liczbę największą spośród naszych piętnastu, czyli nie otrzymamy układu, który konstruujemy.
Piątka za dryfowanie wokół dowodu (chociaż powinno być 2, a być może nawet 0 - jedyne usprawiedliwienie, że jest to kategoria "gimnazjalista"). Intuicja poprawna, brak odpowiedniego sformułowania myśli. Wystarczyło napisać "z zasady szufladkowej istnieje liczba, która jest iloczynem liczb pierwszych, wśród których każda jest nie mniejsza niż piętnasta (licząc od najmniejszej) liczba pierwsza, czyli jest ona \(\displaystyle{ \ge 47^2 = 2209}\) - sprzeczność".

Zadanie 2:
Z twierdzenia odwrotnego natomiast mamy, że punkt F jest środkiem odcinka CD.
Staraj się zawsze opisywać wszystko tak, żeby nie trzeba było się niczego domyślać. Zrozumiałem, że rozważasz tu \(\displaystyle{ \Delta CDD'}\), ale to trzeba napisać. Poza tym fajny sposób wykazania, że \(\displaystyle{ CF=FD}\)
Ostatnio zmieniony 14 lip 2009, o 20:55 przez Sylwek, łącznie zmieniany 2 razy.

Awatar użytkownika
scyth
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 6392
Rejestracja: 23 lip 2007, o 15:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 1087 razy

Kategoria I, 7 lipca 2009, 09:19

Post autor: scyth » 14 lip 2009, o 20:45

Według mnie, w porównaniu do innych, do tej pory najbardziej klarowny dowód. Za pierwsze proponuję 5.

Awatar użytkownika
Sylwek
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2707
Rejestracja: 21 maja 2007, o 14:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 154 razy
Pomógł: 648 razy

Kategoria I, 7 lipca 2009, 09:19

Post autor: Sylwek » 14 lip 2009, o 20:54

Powinno być 2, ale jako że to jest kategoria gimnazjalna i rzeczywiście dowody znacznie bardziej "opisowe" dostały dwójkę, niech tu będzie 5.

ODPOWIEDZ