Punkt skupienia granicą podciągu - dowód

[fart411]

Udowodnij, że jeżeli g jest punktem skupienia ciągu to istnieje podciąg zbieżny do g.

Jakieś wskazówki w jaki sposób poprowadzić można ten dowód?

[Dasio11]

A jaka jest definicja punktu skupienia ciągu?

[fart411]

Że w jego dowolnym otoczeniu znajduje się nieskończenie wiele wyrazów. Ale nie wiem, jak z tej definicji teraz skorzystać...

[Dasio11]

Ciąg można skonstruować rekurencyjnie. Oznaczmy nasz ciąg przez \(\displaystyle{ (a_n)}\) i niech

\(\displaystyle{ \varepsilon_n=\frac{1}{n}.}\)

Istnieje wyraz \(\displaystyle{ a_j}\) ciągu \(\displaystyle{ (a_n),}\) dla którego

\(\displaystyle{ \left| a_j - g \right| < \varepsilon_1.}\)

Oznaczamy sobie jego indeks przez \(\displaystyle{ n_1.}\) Nieskończenie wiele wyrazów ciąg \(\displaystyle{ (a_n)}\) należy do otoczenia punktu \(\displaystyle{ g}\) o promieniu \(\displaystyle{ \varepsilon_2,}\) więc znajdzie się i taki wyraz, którego indeks jest większy od \(\displaystyle{ n_1.}\) Oznaczamy sobie indeks drugiego wyrazu przez \(\displaystyle{ n_2,}\) czyli mamy \(\displaystyle{ n_1<n_2}\) i

\(\displaystyle{ \left| a_{n_2} - g \right| < \varepsilon_2.}\)

Dalej, nieskończenie wiele wyrazów należy do otoczenia punktu \(\displaystyle{ g}\) o promieniu \(\displaystyle{ \varepsilon_3.}\) Spośród nich można więc wybrać jeden o takim indeksie \(\displaystyle{ n_3,}\) że \(\displaystyle{ n_2<n_3.}\) Fakt, że \(\displaystyle{ a_{n_3}}\) należy do tego otoczenia zapisuje się jako

\(\displaystyle{ \left| a_{n_3} - g \right| < \varepsilon_3.}\)

Procedurę powtarzamy dla każdej liczby naturalnej.

Otrzymujemy w ten sposób ciąg \(\displaystyle{ \left( a_{n_k} \right).}\) Ciąg jego indeksów \(\displaystyle{ n_1, n_2, n_3, \ldots}\) jest rosnący, więc \(\displaystyle{ \left(a_{n_k} \right)}\) jest podciągiem ciągu \(\displaystyle{ \left(a_n \right).}\) Dodatkowo,

\(\displaystyle{ \lim_{k \to \infty} a_{n_k} = g,}\)

co wynika ze sposobu konstrukcji. O to chodziło.