Granica ciągu

[yomi]

Proszę o pomoc.
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{ \sqrt[4]{ n^{5}+2 }- \sqrt[3]{ n^{2}+1 } }{ \sqrt[5]{ n^{4}+2 }- \sqrt[]{ n^{3}+1 } }}\)

[Szmidtu]

Jeśli się nie mylę, to należy każdy wyraz podzielić przez \(\displaystyle{ n}\) w najwyższej potędze mianownika => \(\displaystyle{ n^\frac32}\)
W liczniku otrzymujemy \(\displaystyle{ 0}\), w mianowniku \(\displaystyle{ -1}\), więc całość dąży do \(\displaystyle{ 0}\).
Niestety nie umiem napisać tego w latexie, ale niech ktoś mądrzejszy się może jeszcze wypowie...

[yomi]

Jeśli się nie mylę, to należy każdy wyraz podzielić przez n w najwyższej potędze mianownika => n^(3/2)
W liczniku otrzymujemy 0, w mianowniku -1, więc całość dąży do 0.
Niestety nie umiem napisać tego w latexie, ale niech ktoś mądrzejszy się może jeszcze wypowie...

Już próbowałam, ostatnie przekształcenie na którym się zatrzymałam to:
\(\displaystyle{ \frac{ \sqrt[4]{n+ \frac{2}{ n^{4} } }- \sqrt[3]{ \frac{1}{n}+ \frac{1}{ n^{2} } } }{ \sqrt[5]{ \frac{1}{n}+ \frac{2}{ n^{2} } - \sqrt[]{n+ \frac{1}{ n^{2} } } } }}\)
Czyli dąży do \(\displaystyle{ \frac{ \infty }{- \infty }}\)

[Szmidtu]

coś się nie zgadza, jak wygląda ten przykład? Bo w mianowniku masz raz wszystko pod pierwiastkiem a raz 2 oddzielne

[777Lolek]

Jeśli już, to powinno być tak: \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt[4]{n+ \frac{2}{ n^{4} } }- \sqrt[3]{ \frac{1}{n}+ \frac{1}{ n^{{\red 3}} } } }{ \sqrt[5]{ \frac{1}{n}+ \frac{2}{ n^{{\red 5}} }} - \sqrt{n+ \frac{1}{ n^{2} } } } }}\)

Ale Ty wciąż nie wyciągnęłaś najwyższej potęgi \(\displaystyle{ n}\).

[Szmidtu]

a podziel jeszcze każdy wyraz przez \(\displaystyle{ n^\frac12}\)?

[yomi]

Jeśli już, to powinno być tak: \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt[4]{n+ \frac{2}{ n^{4} } }- \sqrt[3]{ \frac{1}{n}+ \frac{1}{ n^{{\red 3}} } } }{ \sqrt[5]{ \frac{1}{n}+ \frac{2}{ n^{{\red 5}} }} - \sqrt{n+ \frac{1}{ n^{2} } } } }}\)

Ale Ty wciąż nie wyciągnęłaś najwyższej potęgi \(\displaystyle{ n}\).

Tak teraz wszystko się zgadza, dzięki . Nie wiem czemu, ale ubzdurałam sobie, że jeśli wyciągnę jeszcze jedno "n" to zostanie mi \(\displaystyle{ \left[ \frac{0}{0} \right]}\).