podzielność wyrażenia

[Szmidtu]

Jak udowodnić \(\displaystyle{ 57|7^{15}-1}\) ?
oprócz modułu są jakieś sposoby ładne?

[anna_]

\(\displaystyle{ a^{15}-1=(a - 1)(a^2 + a + 1)(a^4 + a^3 + a^2 + a + 1)(a^8 - a^7 + a^5 - a^4 + a^3 - a + 1)}\)

[Johny94]

A tak z ciekawości, jak na takie coś wpaść?

[anna_]

Wrzucić do jakiegoś programu, który poda wynik
Ja wrzuciłam do Derive.

[JakimPL]

Obserwacja: \(\displaystyle{ 1+7+7^2=57}\)

Zatem:

\(\displaystyle{ a^{15}-1=\left(a^{3}\right)^5-1=\left(a^3-1\right)\left(a^{12}+a^9+a^6+a^3+1\right)}\)

Ale \(\displaystyle{ a^3-1=\left(a-1\right)\Bigg[\boxed{a^2+a+1}\Bigg]}\).

[kamil13151]

Alternatywnie z kongruencji: zauważamy, że \(\displaystyle{ 7^3=57 \cdot 6+1}\), zatem \(\displaystyle{ 7^3
\equiv 1 \pmod{57}}\), co implikuje: \(\displaystyle{ 7^{15} \equiv 1^5 \equiv 1 \pmod{57}}\), a to jest naszą tezą.