XXVIII Konkurs Matematyczny im. prof. Jana Marszała (powiat)

[mortan517]

Etap powiatowy - zadania dla uczniów klas drugich

Zadanie 1.
Liczby rzeczywiste \(\displaystyle{ x, y, z}\) spełniają nierówności: \(\displaystyle{ \left| x-y \right| - \left| z\right| \ge 0 , \left| y-z\right| - \left| x\right| \ge 0 , \left| z-x\right| - \left| y\right| \ge 0}\). Udowodnić, że co najmniej jedna z tych liczb jest równa sumie dwóch pozostałych.

Zadanie 2.
Na boku \(\displaystyle{ AB}\) równoległoboku \(\displaystyle{ ABCD}\) obrano punkt \(\displaystyle{ M}\), a na bokach \(\displaystyle{ AD}\) i \(\displaystyle{ CB}\) takie punkty \(\displaystyle{ P}\) i \(\displaystyle{ Q}\), że odcinki \(\displaystyle{ PM}\) i \(\displaystyle{ QM}\) są równoległe do przekątnych równoległoboku. Wykazać, że trójkąty \(\displaystyle{ PDM}\) i \(\displaystyle{ QCM}\) mają równe pola.

Zadanie 3.
Obliczyć wartość wyrażenia \(\displaystyle{ \frac{a+b}{b+c} + \frac{b+c}{c+a} + \frac{c+a}{a+b}}\), jeżeli wiadomo, że zachodzi równość \(\displaystyle{ 1 + \frac{a-b}{a+c} = \frac{a-c}{b+c} + \frac{b-c}{a+b}}\).


Rozwiązanie do zadania nr 3:

Ukryta treść:    

Nasze założenie:
\(\displaystyle{ 1 + \frac{a-b}{a+c} = \frac{a-c}{b+c} - \frac{b-c}{a+b} \\
1 = \frac{a-c}{b+c} - \frac{b-c}{a+b} - \frac{a-b}{a+c}\\
-1 = -\frac{a-c}{b+c} + \frac{b-c}{a+b} + \frac{a-b}{a+c}}\)

Nasze wyrażenie:
\(\displaystyle{ W = \frac{a+b}{b+c} + \frac{b+c}{a+c} + \frac{a+c}{a+b} = \\
\frac{a+b}{b+c} + \frac{b+c}{a+c} + \frac{a+c}{a+b} -1 +1 = ...}\)

Tutaj podstawiamy z założenia za -1
\(\displaystyle{ ... = \frac{a+b}{b+c} + \frac{b+c}{a+c} + \frac{c+a}{a+b} + (-\frac{a-c}{b+c} + \frac{b-c}{a+b} + \frac{a-b}{a+c}) + 1 \\
\frac{a+b}{b+c} + \frac{b+c}{a+c} + \frac{a+c}{a+b} -\frac{a-c}{b+c} + \frac{b-c}{a+b} + \frac{a-b}{a+c} + 1 \\
\frac{a+b -(a-c)}{b+c} + \frac{b+c+(a-b)}{a+c} + \frac{a+c + (b-c)}{a+b} + 1 \\
\frac{b+c}{b+c} + \frac{a+c}{a+c} + \frac{a+b}{a+b} + 1 \\
1 + 1 + 1 + 1 = 4}\)

Mógłby ktoś zamieścić pełne rozwiązania do zad 1 i 2? Dzięki i pozdrawiam.

[michaelmontana16]

w 3 mam ten sam wynik, jednakże inną metodą.
W 2 mam tylko rysunek i kilka prostych zapisków, jednak do końca dowodu nie doszedłem.
W 1 udowodniłem, że " \(\displaystyle{ z \ge x + y}\) i tak pozostawiłem. Nie wiem czy to wystarczy:)

[misinho]

Załóżmy \(\displaystyle{ x \ge y\ge z .}\)

\(\displaystyle{ x-y \ge |z|\ge z}\)
\(\displaystyle{ y-z \ge |x|\ge x}\)
\(\displaystyle{ x-z \ge |y| \ge y}\)
Stąd \(\displaystyle{ x-z \ge y \ge x+z}\) , czyli \(\displaystyle{ 0 \ge z}\)

Wobec tego \(\displaystyle{ |z|=-z.}\)

\(\displaystyle{ x-y \ge -z}\)
\(\displaystyle{ y-z \ge x}\)

\(\displaystyle{ y-z \ge x \ge y-z}\) co konczy dowod.

[Sherlock]

Zauważ, że trójkąty AMP i ABD są podobne w skali \(\displaystyle{ k_1= \frac{x}{x+y}}\), a trójkąty MBQ i ABC w skali \(\displaystyle{ k_2= \frac{y}{x+y}}\).
\(\displaystyle{ P_{\Delta DMP}=P_{\Delta ADM}-P_{\Delta AMP}= \frac{1}{2} \cdot x \cdot h- \frac{1}{2} \cdot x \cdot k_1 \cdot h= \frac{1}{2}h(x- x \cdot \frac{x}{x+y} )}\)
\(\displaystyle{ P_{\Delta QCM}=P_{\Delta BCM}-P_{\Delta BMQ}= \frac{1}{2} \cdot y \cdot h- \frac{1}{2} \cdot y \cdot k_2 \cdot h= \frac{1}{2}h(y- y \cdot \frac{y}{x+y} )}\)
Nawiasy uporządkuj, wspólny mianownik...

[michaelmontana16]

a z innych poziomow są treści zadan?