Dzielnik normalny

[awd19]

Znajdz dzielniki normalne grupy \(\displaystyle{ S _{3}}\) i opisz odpowiednie grupy ilorazowe

[Vardamir]

Zacznijmy od tego, czy wiesz co to są dzielniki normalne (inaczej podgrupy normalne)?

[awd19]

Podgrupy takie, ze warstwa lewotronna jest rowna warstwie prawostronnej.Mam problem ze zrozumieniem na przykladach jak dzialaja wlasnie m.in. warstwy

[Vardamir]

Ciężko mówić w takim razie o dzielnikach normalnych, choć wiesz w teorii czym one są.

Zacznij od wyznaczenia podgrup grupy \(\displaystyle{ S_{3}=\left\{id,(1,2),(1,3),(2,3),(1,2,3),(1,3,2)\right\}}\). Mamy tak:
\(\displaystyle{ \left\langle id \right\rangle =\left\{id\right\} \\
\left\langle (1,2)\right\rangle =\left\{id,(1,2)\right\} \\
\left\langle (1,3) \right\rangle =\left\{id,(1,3)\right\} \\
\left\langle (2,3)\right\rangle =\left\{id,(2,3)\right\} \\
\left\langle (1,2,3) \right\rangle =\left\{id,(1,2,3),(1,3,2)\right\} \\
\left\langle (1,3,2) \right\rangle =\left\{id,(1,3,2),(1,2,3)\right\}}\)

Teraz wyznaczmy np. warstwę lewostronną podgrupy \(\displaystyle{ \left\langle (1,2)\right\rangle}\) względem elementu \(\displaystyle{ (1,3)}\) czyli do każdego elementu z podgrupy doklejamy z lewej strony wyznaczony element.

\(\displaystyle{ (1,3)\left\langle (1,2)\right\rangle = \left\{(1,3)id,(1,3)(1,2)\right\}=\left\{(1,3),(1,2,3)\right\}}\)

Warstwa prawostronna dla względem tego elementu:

\(\displaystyle{ \left\langle (1,2)\right\rangle(1,3) = \left\{id(1,3),(1,2)(1,3)\right\}=\left\{(1,3),(1,3,2)\right\}}\)

Różnią się zatem nie będzie to dzielnik normalny. Zastanów się nad tym co napisałem i spróbuj dalej sam wyciągnąć wnioski. Ewentualnie pytaj dalej.

[Ein]

Każda podgrupa \(\displaystyle{ S_3}\) będzie dzielnikiem normalnym (indeks każdej nietrywialnej podgrupy jest równy 2).

[Vardamir]

Każda podgrupa \(\displaystyle{ S_3}\) będzie dzielnikiem normalnym (indeks każdej nietrywialnej podgrupy jest równy 2).

Nie zgodzę się z tym. Indeks podgrupy \(\displaystyle{ \left\langle (1,2) \right\rangle}\) wynosi \(\displaystyle{ 3}\), zatem nie każda ma indeks 2.

Wystarczy teraz wyznaczyć dla niej warstwy lewo- i prawo-stronne względem elementu \(\displaystyle{ (1,2,3)}\), zapewniam Cię, że się równią. Więc nie będzie dzielnikiem normalnym.

[Ein]

A słusznie. Najpierw pomyśl, potem napisz...

[awd19]

Czy to jest jedyna metoda? Rozumiem, ze sprawdzam po prostu czy warstwy sa rowne w poszczegolnych podgrupach,musze rowniez uwzglednic, ze cala grupa tez bedzie dzielnikiem normalnym prawda?

[Vardamir]

Czy to jest jedyna metoda? Rozumiem, ze sprawdzam po prostu czy warstwy sa rowne w poszczegolnych podgrupach,musze rowniez uwzglednic, ze cala grupa tez bedzie dzielnikiem normalnym prawda?

Cała grupa też jest swoim dzielnikiem normalny, tak jak trywialna. Są to niewłaściwe dzielniki normalne.

A czy jedyny sposób? To raczej zależy od grupy jaką rozpatrujemy.