Dowodzenie twierdzenia.

[Rond]

Witam. Oto treść zadania:

Wykaż, że jeśli \(\displaystyle{ x>1 \wedge y<1, to: xy < x + y -1}\)

Zastanawiam się, czy poniższe rozwiązanie jest dobre. Proszę o jego ocenę i ewentualne wskazówki do poprawnego rozwiązania.

\(\displaystyle{ xy - y < x - 1}\)
\(\displaystyle{ y(x-1) < x - 1 /:(x-1)}\)
\(\displaystyle{ y<1}\)
Co jest zgodne z założeniem, więc kończy dowód.

[anna_]

Ale to, że \(\displaystyle{ y<1}\) to wiesz. Masz udowodnić coś innego

[lukasz1804]

Nie możesz dzielić stronami przez wyrażenie, którego znaku nie znasz.

Zresztą dużo lepiej byłoby wykazać prawdziwość tezy korzystając wyłącznie z założenia (czyli jakby odwrócić kolejność przekształceń).

Skoro \(\displaystyle{ x>1, y<1}\), to \(\displaystyle{ x-1>0, y-1<0}\), więc \(\displaystyle{ (x-1)(y-1)<0}\).

[anna_]

Znak znał bo \(\displaystyle{ x>1}\), więc \(\displaystyle{ x-1>0}\)

[Jan Kraszewski]

Zresztą dużo lepiej byłoby wykazać prawdziwość tezy korzystając wyłącznie z założenia.

Problem w tym, że Rond w ogóle nie wykazał prawdziwości tezy, tylko ją założył, a to - jak wiadomo - nie jest dobry pomysł...

JK

[Rond]

Ok, dzięki za pomoc. Mam problem z kolejnym zadaniem:
Zalozenia: \(\displaystyle{ a,b \in R \wedge ab>5}\)
Teza:\(\displaystyle{ a^{2}+b ^{2} >10}\)
Czuje, ze tu jest wzor skroconego mnozenia, ale nie wiem jak to zrobic... Jakies wskazowki?

[anna_]

\(\displaystyle{ (a-b)^2=a^2+b^2-2ab \Rightarrow a^2+b^2=(a-b)^2+2ab}\)


\(\displaystyle{ a^{2}+b ^{2} -10>0}\)

i podstawiasz

[Rond]

Dzięki wszystkim za pomoc!
Mam jeszcze jedno, ostatnie zadanie na dziś, obiecuję

Udowodnij:
\(\displaystyle{ \frac{n ^{5} }{120} - \frac{n ^{3} }{24}+ \frac{n}{30} \in Z (\mbox{całkowitych})}\)
Założenie:
\(\displaystyle{ n \in Z ( \mbox{całkowitych} )}\)

Próbowałem zrobić to indukcyjnie, ale - przynajmniej mi - nie udaje sie tego udowodnic. :/
Jakies wskazówki? Byłbym wdzięczny

[loitzl9006]

Sprowadzamy do wspólnego mianownika:

\(\displaystyle{ ...= \frac{n^5-5n^3+4n}{120}=...}\)

Wyłączamy \(\displaystyle{ n}\) przed nawias:

\(\displaystyle{ ...=\frac{n\left( n^4-5n^2+4\right) }{120}=...}\)

Trzeba pokazać, że licznik jest liczbą podzielną przez \(\displaystyle{ 120}\).

Zajmijmy się wyrażeniem \(\displaystyle{ n^4-5n^2+4}\). Podstawmy \(\displaystyle{ n^2=t}\) i rozłóżmy wielomian na czynniki:

\(\displaystyle{ n^4-5n^2+4=t^2-5t+4=t^2-t-4t+4=t(t-1)+4(1-t)=t(t-1)-4(t-1)= \\ = (t-4)(t-1)=(n^2-4)(n^2-1)= (n-2)(n+2)(n-1)(n+1)}\).

Zatem \(\displaystyle{ \frac{n\left( n^4-5n^2+4\right) }{120}= \frac{(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)}{120}}\)

Co jest w liczniku? Iloczyn pięciu kolejnych liczb całkowitych, z których na pewno jedna jest podzielna przez \(\displaystyle{ 5}\), przynajmniej jedna dzieli się przez \(\displaystyle{ 4}\), przynajmniej jedna przez \(\displaystyle{ 3}\), i na pewno znajdzie się jeszcze podzielna przez \(\displaystyle{ 2}\).

Z tego wynika, że liczba \(\displaystyle{ (n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)}\) na pewno dzieli się przez \(\displaystyle{ 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 =120}\), czyli liczba \(\displaystyle{ \frac{n ^{5} }{120} - \frac{n ^{3} }{24}+ \frac{n}{30}}\) jest całkowita.

[Rond]

Świetnie! Dziękuję bardzo!
Jedyne pytanie, które mnie nurtuje przy takich zadaniach: jak wpadać na takie pomysły?!
Pozdrawiam.