Dowód na to, że ciąg zbieżny ma jedną granicę.

[k100pa]

Szukam dowodu na to, że jeśli ciąg jest zbieżny do granicy właściwej to ta granica jest jedyna. Wiem, że w dowodzie na początku przyjmuje się hipotezę, że ciąg ma dwie różne granice i muszę dowieść, że są one równe. Proszę o pomoc.

[JakimPL]

Przypuśćmy, że:

\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}a_n = a}\)

oraz \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}a_n = \tilde{a}}\)

Wtedy zachodzi z definicji dla obu granic:

\(\displaystyle{ \forall_{\varepsilon_1>0} \exists_{N_1\in\mathbb{N}}\forall_{n>N_1}\ |a_n-a|<\varepsilon_1}\)
\(\displaystyle{ \forall_{\varepsilon_2>0} \exists_{N_2\in\mathbb{N}}\forall_{n>N_2}\ |a_n-\tilde{a}|<\varepsilon_2}\)

Weźmy \(\displaystyle{ \varepsilon_1 = \varepsilon_2 = \frac{\varepsilon}{2}}\) oraz \(\displaystyle{ N=\max(N_1,N_2)}\), dla których oba warunki są spełnione dla \(\displaystyle{ n>N}\).

Widać, że sumując warunki, otrzymujemy:

\(\displaystyle{ |a_n-a|+|a_n-\tilde{a}|<\varepsilon_1+\varepsilon_2 = \varepsilon}\)

Dalej już formalność.

[Karolina93]

Jak dokończyć ten dowód wykonany przez JakimPL ?

[smigol]

Skorzystać z definicji trójkąta na przykład.

[Karolina93]

Nie rozumiem tego kompletnie.Czyli co,

\(\displaystyle{ \left| a-\tilde{a} \right| \le \left| a-a_{n}\right| +\left| a_{n}-\tilde{a}\right|}\)

I co dalej ?

[norwimaj]

Zakładając \(\displaystyle{ a\ne\tilde{a}}\) i dobierając \(\displaystyle{ \varepsilon= |a-\tilde{a}|}\) otrzymujesz sprzeczność.-- 14 lut 2013, o 15:37 --Po drodze jeszcze korzystamy z tego, że istnieje liczba naturalna większa od \(\displaystyle{ N}\).

[Karolina93]

Ok teraz rozumiem. Dzięki