Hilbertowski system dowodzenia.

[peterek]

Cześć, mam niemały problem z przyswojeniem tego materiału z logiki, kompletnie nie wiem jak się za to zabrać, wiem tyle, że są aksjomaty i jedna reguła dowodzenia. Mam do zrobienia kilka przykładów, nie chodzi mi o to, żeby ktoś je rozwiązał tylko w miarę możliwości mnie pokierował.

1) \(\displaystyle{ \vdash\perp\rightarrow p}\)
2) \(\displaystyle{ \vdash ( \neg p \rightarrow p) \rightarrow p}\)

Z góry dziękuję za pomoc.

[Dawid-Izydor]

Podpowiedź do obu: skorzystaj z twierdzenia o dedukcji

Odpowiedzi:

Ukryta treść:    

Zad. 1.
\(\displaystyle{ \{ \perp , \neg p \} \vdash \perp}\) /zgodnie z aksjomatem A0
Korzystamy z twierdzenia o dedukcji
\(\displaystyle{ \{ \perp \} \vdash \neg p \rightarrow \perp}\)
\(\displaystyle{ \{ \perp \} \vdash ( \neg p \rightarrow \perp ) \rightarrow p}\) /zgodnie z aksjomatem A3
Korzystamy z Modus Pones
\(\displaystyle{ \{ \perp \} \vdash p}\)
Korzystamy z twierdzenia o dedukcji
\(\displaystyle{ \vdash \perp \rightarrow p}\)
c.n.d

Zad. 2.
I. \(\displaystyle{ \{ \neg p \rightarrow p, \neg p \} \vdash \neg p \rightarrow p}\) / zgodnie z aksjomatem A0
II. \(\displaystyle{ \{ \neg p \rightarrow p, \neg p \} \vdash \neg p}\) / zgodnie z aksjomatem A0
Korzystamy z MP dla I oraz II
III. \(\displaystyle{ \{ \neg p \rightarrow p, \neg p \} \vdash p}\)
Korzystamy z MP dla II oraz III
\(\displaystyle{ \{ \neg p \rightarrow p, \neg p \} \vdash \perp}\)
Korzystamy z tw. o dedukcji
\(\displaystyle{ \{ \neg p \rightarrow p \} \vdash \neg p \rightarrow \perp}\)
\(\displaystyle{ \{ \neg p \rightarrow p \} \vdash ( \neg p \rightarrow \perp ) \rightarrow p}\)
Korzystamy z Modus Pones
\(\displaystyle{ \{ \neg p \rightarrow p \} \vdash p}\)
Korzystamy z tw. o dedukcji
\(\displaystyle{ \vdash ( \neg p \rightarrow p) \rightarrow p}\)
c.n.d.