Rzut kostką - rozstrzygnięcie, które rozwiązanie jest popraw

[marta1995]

Rzucamy jedną kostką do gry.
Musimy obliczyć prawdopodobieństwo, że wypadnie liczba oczek parzysta i jest to liczba większa od 3
liczę to tak
\(\displaystyle{ {\Omega}} = \left\{ 1,2,3,4,5,6\right\} \\
B \left\{ 2,4,6\right\} \\
C \left\{ 4,5,6 \right\}}\)
A wg mnie, z wykorzystaniem wzoru
\(\displaystyle{ P(A) = P(B) \cdot P(C/B) =\frac{3}{6} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{6}}\)
gdyż \(\displaystyle{ P(C/B) =\frac{1}{3}}\) (jest to tylko wartość \(\displaystyle{ 5}\))

Jednak niektórzy podają takie rozwiązanie
\(\displaystyle{ P(A) = P(B) \cdot P(C/B) = \frac{3}{6} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{3}}\)

Które rozwiązanie jest poprawne i dlaczego?
Proszę o pomoc

[miodzio1988]

\(\displaystyle{ P(C/B)}\)

jak myślisz, dlaczego niektórzy inaczej liczą takie pstwo?

[Macabre]

Ostatnio uczyłem tego moją dziewczynę i używaliśmy innego wzoru:

\(\displaystyle{ P(A \cap B)= P(A)+P(B)-P(A \cup B)}\)
\(\displaystyle{ P(A \cap B)= 3/6+3/6-4/6=2/6}\)

\(\displaystyle{ P(C/B)=1/3}\) ?
Bo ja też nie rozumiem dlaczego inni inaczej liczą to pstwo

[marta1995]

@miodzio1988 nie wiem, dlatego pytam. Co kolwiek by znaczyło to "pstwo"
@Macabre jakie elementy sa wg Ciebie należą do \(\displaystyle{ P(A \cup B)}\) i z jakiej literatury wiozłeś ten wzór?

[Macabre]

P(A u B) - Sumą nazywa się zbiór tych elementów, które należą choć do jednego ze zbiorów: A lub B
Czyli po prostu zliczyłem elementy.

Bezpośrednio wziąłem go z jej zeszytu, ale zdaje się że w podręczniku też był

Przekształcając ten wzór do innej postaci w której moim zdaniem łatwiej zrozumieć jego sens:

\(\displaystyle{ P(A \cup B)= P(A)+P(B)-P(A \cap B)}\)

Sumą dwóch otrzymujemy poprzez dodanie danych zbiorów, ale musimy odjąć cześć wspólną żeby nie dodawać niektórych elementów dwa razy.

[mat_61]

Wszystkie powyższe sposoby liczenia tego p-stwa są formalnie poprawne:

1) \(\displaystyle{ P(A) = P(B) \cdot P(C/B)}\)

W tym wzorze \(\displaystyle{ B}\) oznacza wylosowanie liczby parzystej natomiast \(\displaystyle{ C/B}\) oznacza wylosowanie liczby większej od \(\displaystyle{ 3}\) pod warunkiem, że jest to liczba parzysta.

\(\displaystyle{ P(C/B)}\) oznacza więc p-stwo wylosowania liczby większej od \(\displaystyle{ 3}\) pod warunkiem losowania ze zbioru możliwych (na kostce) liczb parzystych, czyli \(\displaystyle{ \left\{ 2;4;6\right\}}\). Nie ma chyba wątpliwości, że \(\displaystyle{ P(C/B)= \frac{2}{3}}\)

2) \(\displaystyle{ P(A \cap B)= P(A)+P(B)-P(A \cup B)}\)

to jest standardowy wzór na p-stwo iloczynu zdarzeń. W podręcznikach jest najczęściej podawany w postaci p-stwa sumy zdarzeń jako:

\(\displaystyle{ P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B)}\)

Łatwo zauważyć, że są to identyczne zależności.

Oczywiście w tym zadaniu te zdarzenia są oznaczone jako \(\displaystyle{ B}\) oraz \(\displaystyle{ C}\), czyli dla tego konkretnego zadania należałoby napisać:

\(\displaystyle{ P(B \cap C)= P(B)+P(C)-P(B \cup C)}\)

Zbiory \(\displaystyle{ B}\) oraz \(\displaystyle{ C}\) są opisane w pierwszym poście.

3) Nie rozumiem natomiast dlaczego nie rozwiązać tego w najprostszy możliwy sposób bez niepotrzebnego komplikowania. Przecież parzyste i większe od \(\displaystyle{ 3}\) liczby oczek na kostce to \(\displaystyle{ 4}\) i \(\displaystyle{ 6}\) , czyli:

\(\displaystyle{ A=\left\{ 4,6\right\} \Rightarrow |A|=2 \Rightarrow P(A)= \frac{2}{6}= \frac{1}{3}}\)