Przeczytałem właśnie, w jaki sposób Euler obliczył sumę szeregu harmonicznego \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{ n^{2} }}\). Czy wzór, którym się posłużył:
\(\displaystyle{ \frac{\sin x}{x} = \prod_{n=1}^{ \infty} \left( 1- \frac{ x^{2} }{ n^{2} \pi ^{2} } \right)}\)
rzeczywiście funkcjonuje, czy jest to tylko przybliżenie?
Jeśli funkcjonuje - jak można to udowodnić?
Jeśli tylko przybliżenie, czy rzeczywiście można to uznać za kompletny dowód?
Problem bazylejski
-
ultramathguitar
- Użytkownik
- Posty: 17
- Rejestracja: 21 cze 2012, o 14:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdynia
Problem bazylejski
Ostatnio zmieniony 7 lis 2012, o 10:52 przez MichalPWr, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
-
Dasio11
- Moderator
- Posty: 10231
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2365 razy
Problem bazylejski
Wzór jest prawdziwy, nawet dla \(\displaystyle{ x \in \CC.}\) Nie znam łatwego uzasadnienia, ale można go wyprowadzić z przepięknej teorii rozkładania funkcji na nieskończone iloczyny. Jest trochę o tym (wraz z dowodem wzoru) w książce Franciszka Lei pt. Funkcje Zespolone.
Chętnie sam dowiedziałbym się więcej na ten temat, więc skromnie podepnę się pod pytanie o dowód.
Chętnie sam dowiedziałbym się więcej na ten temat, więc skromnie podepnę się pod pytanie o dowód.
-
ultramathguitar
- Użytkownik
- Posty: 17
- Rejestracja: 21 cze 2012, o 14:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdynia
Problem bazylejski
To ciekawe.
Dzieląc \(\displaystyle{ \frac{\sin x}{x}}\) przez \(\displaystyle{ \frac{\sin (x+2k \pi)}{x+2k \pi}}\) i dokonując przekształceń, uzyskałem ogólny wzór na nieskończony iloczyn postaci:
\(\displaystyle{ \prod_{n=1}^{ \infty } \frac{n^2- \alpha ^2}{n^2- (2k+\alpha) ^2} = \frac{2k+\alpha}{\alpha}}\) dla dowolnego \(\displaystyle{ k}\) całkowitego i \(\displaystyle{ \alpha}\) niecałkowitego.
Pewnie z profesjonalnego punktu widzenia taki wzór to nic nadzwyczajnego i można go wyprowadzić na 100 innych sposobów. Ale z samego faktu, że używając samego rozwinięcia sinusa można uzyskać wzór na coś, co z sinusem ma niewiele wspólnego, wnioskuję, że znajomość tego typu przekształceń jest dość przydatna
Dzieląc \(\displaystyle{ \frac{\sin x}{x}}\) przez \(\displaystyle{ \frac{\sin (x+2k \pi)}{x+2k \pi}}\) i dokonując przekształceń, uzyskałem ogólny wzór na nieskończony iloczyn postaci:
\(\displaystyle{ \prod_{n=1}^{ \infty } \frac{n^2- \alpha ^2}{n^2- (2k+\alpha) ^2} = \frac{2k+\alpha}{\alpha}}\) dla dowolnego \(\displaystyle{ k}\) całkowitego i \(\displaystyle{ \alpha}\) niecałkowitego.
Pewnie z profesjonalnego punktu widzenia taki wzór to nic nadzwyczajnego i można go wyprowadzić na 100 innych sposobów. Ale z samego faktu, że używając samego rozwinięcia sinusa można uzyskać wzór na coś, co z sinusem ma niewiele wspólnego, wnioskuję, że znajomość tego typu przekształceń jest dość przydatna