Pokaż
\(\displaystyle{ \log_{n}n!> \frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n}\\dla\\n\in N,n>1.}\)
[Nierówności] nierówność w liczbach naturalnych
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
-
TPB
- Użytkownik
- Posty: 500
- Rejestracja: 19 lip 2011, o 09:20
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Zielona Góra
- Podziękował: 19 razy
- Pomógł: 79 razy
[Nierówności] nierówność w liczbach naturalnych
Zauważmy, że \(\displaystyle{ \log_{n}(n!) = \frac{\ln(n!)}{\ln(n)}}\).
Podana nierówność jest równoważna nierówności:
\(\displaystyle{ \ln(n!) > ( \frac{1}{2}+...+\frac{1}{n} )\ln(n) \Leftrightarrow e^{\ln(n!)} > e^{(\frac{1}{2}+...{1}{n})\ln(n)} \Leftrightarrow n! > n^{\frac{1}{2}+...+\frac{1}{n}}}\).
Będziemy dowodzić tej ostatniej.
Na podstawie nierówności pomiędzy średnią arytmetyczną i geometryczną mamy, że:
\(\displaystyle{ n^{\frac{1}{2}+...\frac{1}{n}} = n^{\frac{1}{2}} \cdot n^{\frac{1}{3}}... \cdot n^{\frac{1}{n} }\le \frac{n+1}{2} \cdot \frac{n+1+1}{3} \cdot ... \cdot \frac{2n-1}{n} = \frac{(n+1)...(2n-1)}{n!}}\)
Tutaj na chwilę zrobimy stop. Pokażemy indukcyjnie taką nierówność:
\(\displaystyle{ (n+1)(n+2)...(2n-1) < (n!)^{2}}\) dla \(\displaystyle{ n \ge 2}\).
Sprawdźmy, że dla \(\displaystyle{ n=2}\) działa: \(\displaystyle{ 3<4}\)
Załóżmy, że dla liczb mniejszych od \(\displaystyle{ n}\) podana nierówność zachodzi.
Pokażemy, że spełniona jest nierówność: \(\displaystyle{ (n+2)(n+3)...(2n+1) <((n+1)!)^{2}}\).
\(\displaystyle{ (n+1) \cdot (n+2)(n+3)...(2n-1)(2n)(2n+1) < (n!)^{2} \cdot 2n(2n+1) \le (n!)^{2} \cdot (n+1)^{3} =((n+1)!)^{2} \cdot (n+1)}\).
A to jest równoważne nierówności, którą dowodziliśmy, wystarczy obustronnie podzielić przez (n+1).
Na koniec zauważmy, że
\(\displaystyle{ \frac{(n+1)...(2n-1)}{n!} < n! \Leftrightarrow (n+1)(n+2)...(2n-1) <(n!)^{2}}\).
A ostatnia nierówność jest prawdziwa.
c.b.d.o.
Podana nierówność jest równoważna nierówności:
\(\displaystyle{ \ln(n!) > ( \frac{1}{2}+...+\frac{1}{n} )\ln(n) \Leftrightarrow e^{\ln(n!)} > e^{(\frac{1}{2}+...{1}{n})\ln(n)} \Leftrightarrow n! > n^{\frac{1}{2}+...+\frac{1}{n}}}\).
Będziemy dowodzić tej ostatniej.
Na podstawie nierówności pomiędzy średnią arytmetyczną i geometryczną mamy, że:
\(\displaystyle{ n^{\frac{1}{2}+...\frac{1}{n}} = n^{\frac{1}{2}} \cdot n^{\frac{1}{3}}... \cdot n^{\frac{1}{n} }\le \frac{n+1}{2} \cdot \frac{n+1+1}{3} \cdot ... \cdot \frac{2n-1}{n} = \frac{(n+1)...(2n-1)}{n!}}\)
Tutaj na chwilę zrobimy stop. Pokażemy indukcyjnie taką nierówność:
\(\displaystyle{ (n+1)(n+2)...(2n-1) < (n!)^{2}}\) dla \(\displaystyle{ n \ge 2}\).
Sprawdźmy, że dla \(\displaystyle{ n=2}\) działa: \(\displaystyle{ 3<4}\)
Załóżmy, że dla liczb mniejszych od \(\displaystyle{ n}\) podana nierówność zachodzi.
Pokażemy, że spełniona jest nierówność: \(\displaystyle{ (n+2)(n+3)...(2n+1) <((n+1)!)^{2}}\).
\(\displaystyle{ (n+1) \cdot (n+2)(n+3)...(2n-1)(2n)(2n+1) < (n!)^{2} \cdot 2n(2n+1) \le (n!)^{2} \cdot (n+1)^{3} =((n+1)!)^{2} \cdot (n+1)}\).
A to jest równoważne nierówności, którą dowodziliśmy, wystarczy obustronnie podzielić przez (n+1).
Na koniec zauważmy, że
\(\displaystyle{ \frac{(n+1)...(2n-1)}{n!} < n! \Leftrightarrow (n+1)(n+2)...(2n-1) <(n!)^{2}}\).
A ostatnia nierówność jest prawdziwa.
c.b.d.o.