Logarytmy z pierwiastkami, jak liczyć?

[Viris]

Witam, szukam pomocy jak w temacie. Dokładniej ujmując chodzi mi o to jak liczyć logarytmy z pierwiastków np \(\displaystyle{ log _{3} \frac{1}{81} =- 4}\) ale jak to policzyć? Znam podstawowy wzór ale on nic mi nie mówi w tym przypadku (proste logarytmy owszem) Proszę o pomoc.

[mmoonniiaa]

Sposób jest taki: liczbę logarytmowaną staramy się przedstawić w postaci potęgi liczby, która jest w podstawie logarytmu.

W tym przypadku:
\(\displaystyle{ \frac{1}{81}=81^{-1}=\left( 3^4\right) ^{-1}=3 ^{-4}}\)
Stąd mamy:
\(\displaystyle{ \log _3 \frac{1}{81} =\log_3 3^{-4}=-4 \log_3 3=-4 \cdot 1=-4}\)

Wszystko jasne?

[radzik100]

Chyba ułamków
przedstawiamy logarytm jako \(\displaystyle{ log _3{ (\frac 1{3}{})^{4} }}\) a przecież \(\displaystyle{ \frac{1}{3} =3 ^{-1}}\)

[Viris]

Radzik tak, ułamków

mmoonniiaa nie do końca wszystko, skąd się wzięło -4 razy 1 (na końcu) -4 przypuszczam że chodzi o potęgę ale 1?

[mmoonniiaa]

Najpierw wzór: \(\displaystyle{ \log_ a b ^m=m \log _a b}\)
następnie: \(\displaystyle{ \log_3 3=1}\)

[Viris]

ok rozumiem napiszę potem gdybym miał jeszcze jakieś pytania -- 6 lis 2012, o 14:57 --Ok rozwiązałem kilkanaście przykładów i wnioskuję z tego że nastąpił progres Teraz mam jednak problem z nieco innymi (zapewne jest w tym analogia co do poprzednich przykładów ale nie chcę sobie namieszać w głowie własnymi pomysłami bo zauważyłem że nie wychodzi mi tak jak powinno). Proszę dlatego o podobne wytłumaczenie takiego przykładu:

\(\displaystyle{ log \frac{1}{8} 16}\)

Oraz od razu druga część żeby nie pisać kolejnych postów (tym razem nie logarytm a "zwykłe" potęgowanie), dokładniej rzecz biorąc jak spotęgować \(\displaystyle{ 9^{ \frac{1}{2} }}\) oraz \(\displaystyle{ 8^{- \frac{1}{3} }}\)

[mmoonniiaa]

Ten logarytm ma tak wyglądać?
\(\displaystyle{ \log_{ \frac{1}{8} }16}\)

Co do przykładów z potęgowaniem. Jeśli w wykładniku mamy ułamek to chodzi o pierwiastek odpowiedniego stopnia, tzn.:
\(\displaystyle{ 9^ { \frac{1}{2}} = \sqrt{9}=...}\)

\(\displaystyle{ 8^{- \frac{1}{3} }=\left( \frac{1}{8} \right)^{ \frac{1}{3} } = \sqrt[3]{\frac{1}{8}}=...}\)

[Viris]

tak, właśnie tak miał wyglądać ale coś się nie udało wizualnie
Z tym potęgowaniem to faktycznie proste zapomniałem że tak się przecież to liczy

[mmoonniiaa]

Jeśli chodzi o ten logarytm, to zauważ, że liczby \(\displaystyle{ 16}\) i \(\displaystyle{ \frac{1}{8}}\) da się zapisać w postaci potęg dwójki. Dlatego należy zastosować wzór na zmianę podstawy logarytmu - gdzie właśnie tą nową podstawą będzie liczba \(\displaystyle{ 2}\) - spróbuj.

[Viris]

Kurcze, nie ma jakiegoś prostszego sposobu, nie przypominam sobie żebyśmy na zajęciach coś takiego robili (z tym wzorem na zmianę postawy logarytmu)

[anna_]

Inny sposób:
\(\displaystyle{ \log_{ \frac{1}{8} }16= \frac{\log 16}{\log \frac{1}{8} }= \frac{\log 2^4}{\log 2^{-3}}=\frac{4\log 2}{-3\log 2}}=- \frac{4}{3}}\)

[Viris]

ok teraz już prędzej coś mogę z tego wywnioskować, powiedz mi jeszcze jak policzyc mianownik po pierwszym "=" \(\displaystyle{ log \frac{1}{8}}\)

[anna_]

\(\displaystyle{ \log \frac{1}{8}=\log {\left( \frac{1}{2} \right) }^3=\log 2^{-3}}\)

Ale ja tam właśnie korzystałam z zamiany podstaw logarytmu

[Viris]

obliczyłem to jakimś cudem przed przeczytaniem ostatniego postu więc chyba jednak znam ten wzór choć tak na prawdę nie wiem że go używam.. ale cóż, najważniejsze że wiem jak policzyć

-- 7 lis 2012, o 17:12 --

a jednak nie, cuda się nie zdarzają obliczyłem do tego momentu \(\displaystyle{ \frac{4\log 2}{-3\log 2}}=}\) i nie wiem teraz jak przekształcić to do ostatecznej formy -4/3

[mmoonniiaa]

Możesz skrócić przez \(\displaystyle{ \log 2}\), przecież tam jest mnożenie.
\(\displaystyle{ \frac{4 \cdot \log 2}{-3 \cdot \log 2}}=}\)